Estoy aprendiendo a programar en Python y para practicar estoy haciendo los problemas de Project Euler. El décimo problema pide encontrar la suma de todos los números primos menores que 2 millones. Para ello, una opción posible es ir comprobando cada número natural menor que 2 millones. Si el número es primo, se añade a la suma, y si es compuesto, no se añade. Para saber si un número es primo o no, lo que hay que hacer es un test de primalidad.
miércoles, 25 de septiembre de 2013
lunes, 1 de julio de 2013
El fibrado de Hopf
He decidido escribir esta entrada en un pdf. Se puede descargar en el siguiente enlace:
martes, 11 de junio de 2013
Dualidad álgebra - geometría
Para seguir esta entrada conviene saber lo que es un anillo, lo que es un ideal de un anillo y lo que es un cuerpo algebraicamente cerrado. También haber leído la entrada anterior, Una traducción álgebra - geometría.
Como esta tarde no tengo nada mejor que hacer, voy a extenderme en el tema de la última entrada, explicando por qué la equivalencia entre variedad irreducible e ideal primo no es una serendipia, que diría Iker, sino que hay una verdad más profunda oculta detrás de esto: la categoría de las variedades algebraicas afines sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ algebraicamente cerrado y la categoría de $\mathbb{K}$-álgebras finitamente generadas y reducidas son categorías duales. Veamos qué significa esto.
domingo, 2 de junio de 2013
Una traducción álgebra - geometría
Para seguir esta entrada conviene saber lo que es un anillo y lo que es un ideal de un anillo.
Las variedades algebraicas afines de $\mathbb{K}^n$ (donde $\mathbb{K}$ es un cuerpo, que a efectos de lo que quiero contar puede pensarse que es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) son los conjuntos de ceros de polinomios de $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$. Por ejemplo, la circunferencia unidad es una variedad algebraica afín de $\mathbb{K}^2$ porque es el conjunto de puntos que satisfacen $X^2 + Y^2 = 1$, es decir, el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = X^2 + Y^2 -1$. También todas las rectas afínes, de ecuación $Y = mX + n$, son conjuntos algebraicos afines de $\mathbb{K}^2$, porque son conjuntos de ceros de polinomios de la forma $f(X,Y) = mX - Y + n$. Pero también son conjuntos algebraicos afines algunas curvas un poco más raras, como la parábola de Neil, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2 - X^3$, o el nudo de Newton, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2-X^3-X^2$.
Las variedades algebraicas afines de $\mathbb{K}^n$ (donde $\mathbb{K}$ es un cuerpo, que a efectos de lo que quiero contar puede pensarse que es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) son los conjuntos de ceros de polinomios de $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$. Por ejemplo, la circunferencia unidad es una variedad algebraica afín de $\mathbb{K}^2$ porque es el conjunto de puntos que satisfacen $X^2 + Y^2 = 1$, es decir, el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = X^2 + Y^2 -1$. También todas las rectas afínes, de ecuación $Y = mX + n$, son conjuntos algebraicos afines de $\mathbb{K}^2$, porque son conjuntos de ceros de polinomios de la forma $f(X,Y) = mX - Y + n$. Pero también son conjuntos algebraicos afines algunas curvas un poco más raras, como la parábola de Neil, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2 - X^3$, o el nudo de Newton, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2-X^3-X^2$.
La notación estándar que suele utilizarse para no tener que estar diciendo todo el rato "conjunto de ceros del polinomio (o polinomios) tal" es la siguiente: dado un conjunto de polinomios $f_1, ..., f_r$, denotamos su lugar de ceros comunes por $V(f_1, ..., f_r)$ (donde $V$ es por variedad). Así, la circunferencia sería $V(X^2+Y^2-1)$, o la parábola (usual) sería $V(Y-X^2)$.
Si ahora consideramos el polinomio $f(X,Y) = (X-Y)(X^2+Y^2-1)$, ¿qué pinta tiene $V(f)$? Un punto $(x,y)$ de $\mathbb{K}^2$ satisface la ecuación $f(x,y) = 0$ si $x-y = 0$, o si $y^2+x^2-1 = 0$ (o ambas condiciones, claro). Por tanto en este caso $V(f)$ es la unión de la recta $Y = X$ con la circunferencia $X^2+Y^2 = 1$. En efecto, si metemos en Wolfram Alpha "(x-y)*(x^2+y^2-1) = 0", el dibujo que nos sale es este:
La diferencia entre este dibujo y los anteriores es evidente: de alguna manera, entendemos que esta variedad es algo así como la unión de dos variedades más pequeñas: una circunferencia y una recta. En cierto sentido, es una variedad algebraica "reducible". Pero, ¿qué entendemos por variedad reducible? Nos gustaría dar una definición satisfactoria de variedad reducible, y eso es lo que vamos a intentar hacer aquí, comparando dos enfoques distintos: el enfoque geométrico y el enfoque algebraico.
domingo, 17 de marzo de 2013
Interpretación geométrica de la torsión
Dada una variedad riemanniana $(M,g)$, sabemos que la conexión de Levi-Civita $\nabla$ es simétrica, es decir, se verifica que para toda curva diferenciable $\alpha:I \rightarrow M$ y cada par de campos de vectores $X,Y$ a lo largo de $\alpha$,
$$\nabla_XY - \nabla_YX = [X,Y]$$
Ahora bien, supongamos que tenemos otra conexión $D$ sobre $M$ que no verifica esta condición. Definimos el tensor de torsión como
$$T(X,Y) = D_XY - D_YX - [X,Y]$$
de modo que podemos expresar la condición anterior como que la conexión de Levi-Civita tiene torsión cero, pero la conexión $D$ tiene torsión no nula. Se puede probar que para cualquier conexión afín $D$ sobre $M$, existe un tensor $A$ de tipo $(2,1)$ tal que
$$D_XY = \nabla_XY + A(X,Y)$$
Entonces, podemos calcular la torsión de $D$:
$$T(X,Y) = D_XY - D_YX - [X,Y] = $$
$$= \nabla_XY + A(X,Y) - \nabla_XY - A(X,Y) - [X,Y] = A(X,Y) - A(Y,X)$$
Luego $D$ tiene torsión $0$ (es simétrica) si, y sólo si, $A(X,Y) - A(Y,X) = 0$, si y sólo si, por definición, $A$ es un tensor simétrico. Por otro lado, dada una geodésica $\gamma:I \rightarrow M$ para la conexión de Levi-Civita, se verifica por definición que $\nabla_{\gamma'}\gamma' = 0$, luego
$$D_{\gamma'}\gamma' = \nabla_{\gamma'}\gamma' + A(\gamma',\gamma') = A(\gamma',\gamma')$$
y entonces $\gamma$ es una geodésica para $D$ si, y sólo si, $A(\gamma',\gamma') = 0$, si y sólo si $A$ es un tensor antisimétrico. Con lo anterior, se deduce que $D$ define las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita y tiene torsión cero si, y sólo si, $A$ es simétrico y antisimétrico, lo que ocurre sólo si $A$ es idénticamente nulo, en cuyo caso $D$ es precisamente la conexión de Levi-Civita.
Ahora bien, dada una conexión $D$ que define las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita, ¿cómo se interpreta geométricamente que tenga torsión no nula? Intentaremos dar una idea con un pequeño ejemplo.
$$\nabla_XY - \nabla_YX = [X,Y]$$
Ahora bien, supongamos que tenemos otra conexión $D$ sobre $M$ que no verifica esta condición. Definimos el tensor de torsión como
$$T(X,Y) = D_XY - D_YX - [X,Y]$$
de modo que podemos expresar la condición anterior como que la conexión de Levi-Civita tiene torsión cero, pero la conexión $D$ tiene torsión no nula. Se puede probar que para cualquier conexión afín $D$ sobre $M$, existe un tensor $A$ de tipo $(2,1)$ tal que
$$D_XY = \nabla_XY + A(X,Y)$$
Entonces, podemos calcular la torsión de $D$:
$$T(X,Y) = D_XY - D_YX - [X,Y] = $$
$$= \nabla_XY + A(X,Y) - \nabla_XY - A(X,Y) - [X,Y] = A(X,Y) - A(Y,X)$$
Luego $D$ tiene torsión $0$ (es simétrica) si, y sólo si, $A(X,Y) - A(Y,X) = 0$, si y sólo si, por definición, $A$ es un tensor simétrico. Por otro lado, dada una geodésica $\gamma:I \rightarrow M$ para la conexión de Levi-Civita, se verifica por definición que $\nabla_{\gamma'}\gamma' = 0$, luego
$$D_{\gamma'}\gamma' = \nabla_{\gamma'}\gamma' + A(\gamma',\gamma') = A(\gamma',\gamma')$$
y entonces $\gamma$ es una geodésica para $D$ si, y sólo si, $A(\gamma',\gamma') = 0$, si y sólo si $A$ es un tensor antisimétrico. Con lo anterior, se deduce que $D$ define las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita y tiene torsión cero si, y sólo si, $A$ es simétrico y antisimétrico, lo que ocurre sólo si $A$ es idénticamente nulo, en cuyo caso $D$ es precisamente la conexión de Levi-Civita.
Ahora bien, dada una conexión $D$ que define las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita, ¿cómo se interpreta geométricamente que tenga torsión no nula? Intentaremos dar una idea con un pequeño ejemplo.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)