martes, 28 de octubre de 2014

¿Qué es una singularidad?


La semana pasada estuve en un congreso y uno de los ponentes citó un artículo de Robert Geroch, titulado What is a Singularity in General Relativity?, publicado en el Annals of Physics en 1968. En el artículo Geroch discute varias posibilidades para definir «singularidad» en el contexto de la Relatividad General. En aquella época no estaba claro cuál era la buena definición y, según creí entender en la charla, hoy en día tampoco hay una definición completamente satisfactoria, pero no lo sé con certeza.

lunes, 29 de septiembre de 2014

My solar system

My solar system es un simulador muy sencillo que permite simular los movimientos de hasta cuatro cuerpos con distintas masas sometidos a la atracción gravitatoria. Cada año y medio o dos años me acuerdo de él, pero siempre me olvido de cómo se llama, así que lo dejo aquí guardado.

lunes, 15 de septiembre de 2014

[Vídeo] Teorema Fundamental del Cálculo

Otro vídeo para Nacho. En este hablo a nivel más o menos informal del Teorema Fundamental del Cálculo y su aplicación para el cálculo de integrales definidas. Sobre todo me interesaba señalar que el Teorema Fundamental del Cálculo es el motivo de que se diga que «integrar es lo contrario de derivar».

jueves, 11 de septiembre de 2014

[Vídeo] Derivada de una función en un punto

He hecho este vídeo para Nacho, que está empezando con la carrera de Física sabiendo muy poquitas matemáticas de bachillerato, pero de paso lo pongo aquí por si le es útil a alguien. En el vídeo se trata la definición de derivada de una función en un punto y se ponen algunos ejemplos. Espero que no haya errores en él porque me daría bastante vergüenza. Puede que haga más vídeos o puede que no (si, y sólo si, tautología).

No me deja encajar el vídeo, así que pongo el enlace y a correr.





viernes, 18 de julio de 2014

Un comentario sobre curvatura cero y volumen


Me he acordado de algo que quería publicar desde hace tiempo pero que se me había pasado. De vez en cuando se puede leer en algunos sitios que los físicos creen que el Universo es, esencialmente, plano. Para resolver la aparente paradoja de que el espaciotiempo pueda ser a la vez finito y sin fronteras se suele recurrir a la clásica analogía de la superficie de una esfera, el caso del planeta Tierra. Sin embargo, ante la afirmación de que el Universo es plano, he llegado a escuchar a físicos divulgadores diciendo que esto implica que el Universo tiene volumen infinito, supongo que porque tienen en mente el espacio euclídeo. Sin entrar a discutir sobre la forma y el volumen del Universo, quiero dejar aquí un ejemplo de variedad plana, cerrada, compacta y de volumen finito que demuestra que esta conclusión no se sigue de las premisas. Está bien tener a mano este ejemplo sencillo igual que el de la esfera.


miércoles, 16 de julio de 2014

Cómo construir un toro [Animación]


Sigo aquí atrapado aprendiendo a hacer animaciones en Mathematica. Esta vez me he propuesto hacer una animación de la construcción de un toro a partir de un cuadrado con lados identificados. Esto es lo que me ha salido:

lunes, 14 de julio de 2014

Transporte paralelo con torsión [Animaciones]


El año pasado hablaba de la interpretación geométrica de la torsión. Últimamente estoy intentando aprender Mathematica porque los gráficos y las animaciones que se pueden hacer son muy chulos y se generan con unas pocas líneas de código. A modo de ejercicio me he propuesto hacer algunas animaciones de transporte paralelo de una referencia ortonormal en $\mathbb{R}^3$ cuando la conexión es la conexión de Levi-Civita más un tensor antisimétrico, en particular, el tensor dado por el producto vectorial $A(V,W) = V \times W$. Las animaciones son un poco cutres porque todavía no piloto del todo, pero siempre puedo pensar en aquello del 15M «vamos despacio porque queremos llegar muy lejos».

domingo, 8 de junio de 2014

Expresión de la métrica para coordenadas esféricas en la n-esfera unidad


Hoy he tenido que hacer un trabajo de chinos: calcularme la expresión del tensor métrico en $\mathbb{S}^n$ para las coordenadas esféricas. Subo aquí un pdf con el resultado y la demostración para que no se me pierda NUNCA JAMÁS EN MI MALDITA VIDA y por si a alguien le viene bien. Supongo que está todo correcto.

jueves, 29 de mayo de 2014

Paquete casero de redes neuronales en Python



Mi proyecto de redes neuronales de predecir los meneos de las noticias de Menéame por su título y texto de su entradilla ha sido un fracaso. El primer problema fue que el dataset no cabía en memoria de ninguna manera y ninguna toolbox de redes neuronales que me encontré admitía datos en formato matriz sparse, ni siquiera MATLAB. Así que me tuve que ir implementando yo mismo métodos de redes neuronales adaptados a matrices sparse, que realmente no tienen una gran diferencia con los métodos para matrices normales. Una vez lo tuve todo hecho, el problema es que ajustar la red necesaria me llevaría en tiempo varias veces la edad del universo. A punto de morirme de la desesperación, se me ocurrió que mi trabajo para la asignatura podía consistir sencillamente en entregar lo que ya tenía hecho con un lacito: un paquete casero de redes neuronales en Python.

Dejo aquí el link de descarga que incluye el fichero .py con la implementación y el .pdf de mi trabajo que, en el capítulo 2, tiene un tutorial rápido para aprender a utilizarlo. Es necesario tener instalado el paquete Numpy, aunque es preferible tener instalado Scipy completo.


Si hay dudas o algo no funciona como debería, decídmelo en los comentarios.

viernes, 23 de mayo de 2014

En qué consiste la carrera de matemáticas

Mañana es jornada de puertas abiertas en mi facultad y me han pedido que hable durante unos 10 minutos a un grupo de alumnos de bachillerato y a sus padres contándoles mi experiencia como egresado de la carrera de matemáticas. Cuando yo me matriculé en la licenciatura no tenía ni idea de qué me iba a encontrar y, seguramente, los que me escuchen estarán en la misma situación, si no equivocados. Mi intención es ser lo más honesto e inteligible que pueda resumiendo de qué va la carrera. Aprovechando que me he tenido que preparar el discursillo, lo escribo aquí para los intertubos.

viernes, 2 de mayo de 2014

Hermann Weyl sobre Emmy Noether

Emmy Noether murió en abril de 1935 en Pensilvania, dos años después de haber sido expulsada de Gotinga por los nazis. La historia de esta mujer siempre me ha parecido conmovedora y anoche estuve leyendo algunas cartas y textos escritos por los protagonistas históricos de aquella época. Entre ellos, el discurso que preparó Hermann Weyl para su funeral, que reproduzco aquí en inglés.

sábado, 26 de abril de 2014

Anecdote

An engineer, a physicist, and a mathematician find themselves in an anecdote, indeed an anecdote quite similar to many that you have no doubt already heard. After some observations and rough calculations the engineer realizes the situation and starts laughing. A few minutes later the physicist understands too and chuckles to himself happily, as he now has enough experimental evidence to publish a paper. This leaves the mathematician somewhat perplexed, as he had observed right away that he was the subject of an anecdote and deduced quite rapidly the presence of humor from similar anecdotes, but considers this anecdote to be too trivial a corollary to be significant, let alone funny.




viernes, 11 de abril de 2014

Aritmética en categorías

Por cerrar las dos entradas anteriores, Productos en categorías y Coproductos en categorías, quería dar un par de definiciones más. Se trata del concepto de objeto terminal y su dual, el objeto inicial. Una vez definidos, permiten hacer una aritmética con los objetos que me parece curiosa.

miércoles, 9 de abril de 2014

Coproductos en categorías

Completando la entrada anterior, noción dual de producto es la de coproducto. Es decir, un coproducto en una categoría $\mathcal{C}$ es un producto en la categoría dual $\mathcal{C}^{op}$. Y con esto ya queda todo dicho. Hasta la próxima entrada.





Bueno, vale, voy a dar la definición rápidamente y algunos ejemplos.

Productos en categorías

Estos últimos días me ha dado por leer notas y ver clases en Youtube de teoría de categorías. Como al principio todo es muy sencillo de definir, cuando me había interesado por el tema en anteriores ocasiones había avanzado muy rápido creyendo entenderlo todo. Sin embargo, quizá porque uno madura, esta vez me lo he tomado con mucha más calma y he descubierto que en esta materia es posible disfrutar con las definiciones más elementales. Probablemente lo que me resulta más emocionante es tomar una definición categórica y ver qué significa en distintas categorías conocidas. Los resultados muchas veces son sorprendentes y conectan conceptos matemáticos que aparentemente no tienen nada que ver.

En esta entrada quiero hablar de una construcción muy sencilla, los productos, que son una especie de generalización del producto cartesiano de conjuntos a otras categorías. Cuando una categoría tiene como objetos unos "conjuntos con estructura" (espacios topológicos, espacios vectoriales, grupos, anillos...), suele ser fácil describir el producto de dos objetos. Normalmente el conjunto base para el producto es el producto cartesiano de los conjuntos base y la estructura del producto es un "producto sensato" de las estructuras. Sin embargo, cuando los objetos de una categoría no son conjuntos, no hay noción de producto cartesiano y, por tanto, no hay una manera tan evidente de definir el producto de dos objetos.

lunes, 31 de marzo de 2014

Variedad solución (I)

Durante este curso de máster que estoy haciendo me he ido empapando de una idea, todavía expresada de manera bastante vaga en mi cabeza, pero que me parece interesante. La idea consiste en que a muchos problemas se les puede asociar un objeto geométrico llamado comúnmente variedad solución. Esto permite, de manera bastante sistemática, aplicar técnicas geométricas al estudio de problemas en los que, en principio, no era completamente evidente cómo hacerlo. El otro día tuve una clase de la que disfruté mucho y que me dejó pensando durante un buen rato, uno de esos momentos en los que tu cerebro hace click y tienes la sensación de entenderlo todo mejor. Queriendo dejar constancia de esto en mi diario, tengo previsto escribir dos entradas: la de hoy, contando lo que entendí de la clase del otro día, y otra aplicándolas a un problema concreto: la demostración de una versión generalizada del Teorema Fundamental del Álgebra.

sábado, 1 de marzo de 2014

Libros 01/03/2014

He subido a Netkups unos pocos libros, sobre todo de matemáticas, por si alguien (o yo mismo, supuesto que mi ordenador sufriera un accidente) los necesita en algún momento.


La gran mayoría de ellos los he usado en el pasado para hacer algún trabajo y otros los he consultado para otras cosas, así que los temas que tratan son muy variados. En el futuro, si amplío la colección, subiré la correspondiente actualización. Aquí dejo la lista:

Fernando, J. F.; Gamboa, J. M.;  "Estructuras Algebraicas: Divisibilidad en Anillos Conmutativos".
Fernando, J. F.; Gamboa, J. M.; "Ecuaciones Algebraicas: Extensiones de Cuerpos y Teoría de Galois".
Atiyah, M. F.; Macdonald, I. G.; "Introduction to Commutative Algebra".
Eisenbud, D.; "Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry".
Kreuzer, M.; Robbiano, L.; "Computational Commutative Algebra 1".
Kreuzer, M.; Robbiano, L.; "Computational Commutative Algebra 2".
Iserles, A.; A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations".
Li, M.; Vitány, P.; "An Introduction to Kolmogorov Complexity and its Applications".
Gathen, J.; Gerhard, J.; "Modern Computer Algebra".
Walker, R. J.; "Algebraic Curves".
Boyce, W. E.; DiPrima, R. C.; "Ecuaciones Diferenciales y Problemas con Valores en la Frontera".
DeGroot, M. H.; Schervish, M. J.; "Probability and Statistics".
Lehmann, E. L.; Romano, J. P.; "Testing Statistical Hypotheses".
Von Neumann, J.; "Mathematical Foundations of Quantum Mechanics".
Eisenbud, D.; "The Geometry of Syzygies".
Hulek, K.; "Elementary Algebraic Geometry".
Lang, S.; "Introduction to Algebraic Geometry".
Perrin, D.; "Algebraic Geometry".
Smith, K. E.; Kahanpää, L.; Kekäläinen, P.; Traves, W.; "An Invitation to Algebraic Geomerty".
Lee, J. M.; "Introduction to Smooth Manifolds".
Do Carmo, M. P.; "Geometría Diferencial de Curvas y Superficies".
Do Carmo, M. P.; "Riemannian Geometry".
O Neill, B.; "Semi-Riemannian Geometry with Applications to Relativity".
Kline, M.; "Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Vol 1)".
Kline, M.; "Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Vol 2)".
Kline, M.; "Mathematical Thought from Ancient to Modern Times (Vol 3)".
Munkres, J.; "Topology".
Hatcher, A.; "Algebraic Topology".
Lee, J. M.; "Introduction to Topological Manifolds".
Guillemin, V.; Pollack, A.; "Differential Topology".
Hirsch, M. W.; "Differential Topology".
Milnor, J. W.; "Topology from the Differentiable Viewpoint".
Tu, L. W.; "Introduction to Manifolds".

sábado, 22 de febrero de 2014

Matriz de incidencia de un grafo y su homología

Muchas veces cuando se da un curso de Teoría de Grafos se introduce el concepto de matriz de incidencia, una matriz cuyas filas representan las aristas del grafo y cuyas columnas representan los vértices, de tal modo que la posición $(i,j)$ de la matriz es un $1$ si la arista $i$ es incidente a vértice $j$, y un $0$ si no lo es. Existe una generalización más o menos natural de esta matriz para grafos dirigidos: la matriz de incidencia dirigida, que en la posición $(i,j)$ tiene un $1$ si la arista $i$ "sale" del vértice $j$, un $-1$ si la arista $i$ "entra" al vértice $j$, y un $0$ si la arista $i$ no es incidente a vértice $j$.

martes, 18 de febrero de 2014

Dataset: Menéame

Me he bajado Menéame para un proyecto de minería de datos y pongo aquí el dataset que tanto esfuerzo me ha costado conseguir por si alguien lo quiere. El formato de los datos es texto plano. Consiste en 53.088 filas, cada una de ellas conteniendo información de una noticia publicada en la portada de Menéame entre septiembre de 2010 y hoy. Por algún motivo he tenido problemas para parsear las noticias más antiguas, así que hasta esa fecha he podido llegar. Contiene algunos fallos, pero son despreciables dado el volumen de datos.

La primera fila contiene los nombres de las columnas. A partir de la segunda, cada fila contiene 7 campos separados por la secuencia de caracteres ' ;; ' (espacio, punto y coma, punto y coma, espacio). Los campos son

  1. Cabecera de la entrada (titular) [texto]
  2. Entradilla [texto]
  3. Número de meneos de la noticia [entero]
  4. Número de clics de la noticia [entero]
  5. Url de la noticia en Menéame [texto]
  6. Url de la página a la que dirige la noticia [texto]
  7. Nombre del usuario que publicó la noticia [texto]
El dataset se puede descargar aquí:

lunes, 17 de febrero de 2014

P, NP, NP-completo: aclaración para profanos

A mucha gente le suena el problema P vs. NP porque ha salido en Futurama, porque ha salido en Los Simpson, o porque ha leído algo sobre ello en una entrada de Menéame. Como todo concepto científico más o menos avanzado que se hace popular, mucha gente lo ha entendido mal y va por ahí diciendo burradas como que NP significa No Polinomial, y cosas así. Aunque entender con algo de profundidad el problema requeriría un curso entero dedicado a ello, sí que creo que se puede intentar explicar el asunto de manera rápida, sin reparar en las sutilezas pero también sin llevar a engaños.

jueves, 23 de enero de 2014

Qué pequeño es Q y qué raros son los abiertos

Me he encontrado con un problema que me ha parecido curioso: si un conjunto abierto $E$ verifica $\mathbb{Q} \subsetneq E \subsetneq \mathbb{R}$, ¿es verdad que $E$ debe ser igual a $\mathbb{R}$ salvo, a lo sumo, un conjunto de medida cero? Sabiendo que $\mathbb{Q}$ es un conjunto denso en $\mathbb{R}$ con la topología usual, y que un abierto es algo "gordito" en el sentido de que ningún abierto mide $0$, la existencia de un abierto que recubra todos los naturales y que mida menos que $\mathbb{R}$ es algo contraintuitiva.

jueves, 9 de enero de 2014

Tests de primalidad

Para mi asignatura de Complejidad Computacional he hecho un trabajo más o menos bibliográfico, más o menos divulgativo, sobre tests de primalidad. La estrella, digamos, del trabajo, es la demostración desmenuzada, en términos algo más elementales que los del paper original, del test AKS. Aparecen también, sin tanto detalle, los tests probabilistas de Fermat, Miller-Rabin y Solovay-Strassen. Aquí lo dejo.