Fórmula de la coárea

Esta última semana mi director nos ha estado dando un pequeño seminario sobre integración en variedades. Concretamente, sobre la fórmula de la coárea, que es una herramienta muy útil mediante la cual podemos calcular de forma muy sencilla un montón de volúmenes de variedades, como por ejemplo las esferas euclídeas, las bolas, el espacio proyectivo o el grupo ortogonal. Además, la fórmula de la coárea admite como casos particulares algunos resultados importantes como el teorema del cambio de variable o el teorema de Fubini. En esta entrada quiero enseñar varios ejemplos de aplicación de la fórmula.

Documental sobre sistemas dinámicos y caos

Dejo aquí un documental de divulgación sobre sistemas dinámicos y caos. Dura aproximadamente unas dos horas en nueve capítulos, está en inglés subtitulado al castellano y está dirigido al público general, aunque a mí también me ha gustado mucho. A pesar de que algunas animaciones son un poco cutres, la verdad es que el tema está muy bien explicado y puede servir para explicar a la gente por qué hace falta investigar en matemáticas «teóricas» o «abstractas».

Cómo maximizar la inestabilidad en un Parlamento

Se celebran elecciones al Parlamento.

De los 97 diputados, el Partido A obtiene 48 y el resto de fuerzas obtienen 49.

Por tanto, el resto de fuerzas deben gobernar.

De los 49 diputados restantes, el Partido B obtiene 24 diputados y el resto de fuerzas obtienen 25.

Por tanto, el resto de fuerzas deben gobernar.

De los 25 diputados restantes, el Partido C obtiene 12 diputados y el resto de fuerzas obtienen 13.

Por tanto, el resto de fuerzas deben gobernar.

De los 13 diputados restantes, el Partido D obtiene 6 diputados y el resto de fuerzas obtienen 7.

Por tanto, el resto de fuerzas deben gobernar.

De los 7 diputados restantes, el Partido E obtiene 3 diputados y el resto de fuerzas obtienen 4.

Por tanto, el resto de fuerzas deben gobernar.

Para los partidos F y G sólo hay dos opciones: o F tiene 3 y G tiene 1, en cuyo caso gobernaría F, o ambos tienen 2 diputados cada uno, en cuyo caso deberían ponerse de acuerdo, ya que las matemáticas no sentencian nada.

¿Cuáles son los números mágicos que fuerzan a que gobierne el partido con el menor número de diputados posible, maximizando lo ajustado de las mayorías, para poder así generar más polémica y posibles disturbios en las calles? Comenzando ahora desde abajo hacia arriba, el partido que gobierne debería tener, por lo menos, 2 diputados. Estos se impondrían sobre el último partido, que suponemos ideológicamente afín, y que obtendría un único diputado. Estos 3 diputados se estarían imponiendo sobre otro grupo de 2 diputados. Los 5, en conjunto, se impondrían sobre 4. Los 9, sobre 8, los 17, sobre 16, etcétera.

3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, ...

En general, para que en un parlamento pueda gobernar un partido con 2 diputados y con las mayorías lo más ajustadas posible, hay que establecer un número total de diputados en la sucesión

$$a_1 = 3, \quad a_{n+1} = 2a_n-1.$$
Explícitamente,
$$a_n = 2^n+1.$$

Topología a partir de propiedades métricas locales

Hace tiempo que tenía pendiente escribir una entrada mostrando una «prueba de existencia» de que se pueden decir cosas sobre la forma global del Universo a partir de ciertas hipótesis que los físicos consideran razonables y de mediciones locales. La topología, la forma, es una propiedad global en el sentido de que todas las variedades topológicas, vistas muy de cerca, son homeomorfas al espacio euclídeo, indistinguibles unas de otras si no nos alejamos lo suficiente como para ver el cuadro en su conjunto. Por este motivo puede resultar sorprendente que en algunas revistas de divulgación científica aparezcan de vez en cuando artículos afirmando que el Universo tiene tal o cual forma, según los últimos datos experimentales.

La prueba de existencia que expongo aquí es el Teorema de Gauss-Bonnet, un resultado que relaciona la curvatura de una superficie diferenciable con su topología.