Una aproximación intuitiva a la conjetura de Poincaré diferenciable

Cualquiera que esté medianamente al tanto de la actualidad científica, y en particular, matemática, habrá oído hablar alguna vez de la famosa conjetura de Poincaré, que dice lo siguiente:

Toda variedad diferenciable de dimensión $3$, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^3$.

 La conjetura no es tal, es un teorema demostrado en 2002 por Perelman, tristemente famoso por el revuelo que causó al rechazar el premio de un millón de dólares que le concedía el Instituto Clay por la resolución de la conjetura (era uno de los Millenium Prize), así como la Medalla Fields.

 En esta entrada introduciremos brevemente el significado de la conjetura de Poincaré para plantear una conjetura muy relacionada y aún sin resolver: la conjetura diferenciable de Poincaré, que dice:

Toda variedad diferenciable de dimensión $4$, cerrada y simplemente conexa es difeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^4$.

Teoría diferencial de Galois

A menudo cuando estamos haciendo integrales nos encontramos con funciones que no tienen una "primitiva elemental", como es el caso de $\int e^{x^2} dx$. Esto no significa que la función $e^{x^2}$ no se pueda integrar, pero digamos que no podemos escribirla como una combinación de funciones racionales, senos, cosenos, logaritmos y cosas así.
De igual manera, cuando estamos resolviendo una ecuación diferencial $y = f(x,y', y^{(2)}, ..., y^{(n)})$, a pesar de que el teorema de Picard-Lindelöff nos jure por los axiomas de las matemáticas que existe una única solución definida en un entorno de las condiciones iniciales, muchas veces no existe una forma de expresar esa función en términos elementales.