Topología a partir de propiedades métricas locales

Hace tiempo que tenía pendiente escribir una entrada mostrando una «prueba de existencia» de que se pueden decir cosas sobre la forma global del Universo a partir de ciertas hipótesis que los físicos consideran razonables y de mediciones locales. La topología, la forma, es una propiedad global en el sentido de que todas las variedades topológicas, vistas muy de cerca, son homeomorfas al espacio euclídeo, indistinguibles unas de otras si no nos alejamos lo suficiente como para ver el cuadro en su conjunto. Por este motivo puede resultar sorprendente que en algunas revistas de divulgación científica aparezcan de vez en cuando artículos afirmando que el Universo tiene tal o cual forma, según los últimos datos experimentales.

La prueba de existencia que expongo aquí es el Teorema de Gauss-Bonnet, un resultado que relaciona la curvatura de una superficie diferenciable con su topología.

Matriz de incidencia de un grafo y su homología

Muchas veces cuando se da un curso de Teoría de Grafos se introduce el concepto de matriz de incidencia, una matriz cuyas filas representan las aristas del grafo y cuyas columnas representan los vértices, de tal modo que la posición $(i,j)$ de la matriz es un $1$ si la arista $i$ es incidente a vértice $j$, y un $0$ si no lo es. Existe una generalización más o menos natural de esta matriz para grafos dirigidos: la matriz de incidencia dirigida, que en la posición $(i,j)$ tiene un $1$ si la arista $i$ "sale" del vértice $j$, un $-1$ si la arista $i$ "entra" al vértice $j$, y un $0$ si la arista $i$ no es incidente a vértice $j$.

Qué pequeño es Q y qué raros son los abiertos

Me he encontrado con un problema que me ha parecido curioso: si un conjunto abierto $E$ verifica $\mathbb{Q} \subsetneq E \subsetneq \mathbb{R}$, ¿es verdad que $E$ debe ser igual a $\mathbb{R}$ salvo, a lo sumo, un conjunto de medida cero? Sabiendo que $\mathbb{Q}$ es un conjunto denso en $\mathbb{R}$ con la topología usual, y que un abierto es algo "gordito" en el sentido de que ningún abierto mide $0$, la existencia de un abierto que recubra todos los naturales y que mida menos que $\mathbb{R}$ es algo contraintuitiva.

El fibrado de Hopf

He decidido escribir esta entrada en un pdf. Se puede descargar en el siguiente enlace:

http://cl.ly/091P2V3c0X3C

[Trabajo] Grupos de Lie

Al fin he terminado mi tabajo sobre grupos de Lie para mi asignatura de Topología Diferencial, así que dejo aquí el enlace de descarga (Netkups), por si alguien quiere echarle un vistazo.

Link

Edit: si en el futuro la descarga no está disponible y hay alguien interesado en el trabajo, que me lo diga en un comentario y lo resubiré.

Una aproximación intuitiva a la conjetura de Poincaré diferenciable

Cualquiera que esté medianamente al tanto de la actualidad científica, y en particular, matemática, habrá oído hablar alguna vez de la famosa conjetura de Poincaré, que dice lo siguiente:

Toda variedad diferenciable de dimensión $3$, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^3$.

 La conjetura no es tal, es un teorema demostrado en 2002 por Perelman, tristemente famoso por el revuelo que causó al rechazar el premio de un millón de dólares que le concedía el Instituto Clay por la resolución de la conjetura (era uno de los Millenium Prize), así como la Medalla Fields.

 En esta entrada introduciremos brevemente el significado de la conjetura de Poincaré para plantear una conjetura muy relacionada y aún sin resolver: la conjetura diferenciable de Poincaré, que dice:

Toda variedad diferenciable de dimensión $4$, cerrada y simplemente conexa es difeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^4$.

Sobre el concepto de límite

El concepto de límite de una función es algo que se enseña en secundaria, pero que no se enseña adecuadamente, y por eso es habitual que una persona que no ha estudiado nada de topología encuentre ciertas "incongruencias lógicas" tanto en la definición como en la manera de operar con los límites en el caso real. El límite es algo que se define en un contexto mucho más general de lo que se enseña en secundaria. Para definirlo lo único que necesitamos es un espacio topológico. Ahora bien, ¿qué es un espacio topológico? Pues es la manera que tenemos de definir qué es un subconjunto abierto de un conjunto.