Como esta tarde no tengo nada mejor que hacer, voy a extenderme en el tema de la última entrada, explicando por qué la equivalencia entre variedad irreducible e ideal primo no es una serendipia, que diría Iker, sino que hay una verdad más profunda oculta detrás de esto: la categoría de las variedades algebraicas afines sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ algebraicamente cerrado y la categoría de $\mathbb{K}$-álgebras finitamente generadas y reducidas son categorías duales. Veamos qué significa esto.
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martes, 11 de junio de 2013
Dualidad álgebra - geometría
Para seguir esta entrada conviene saber lo que es un anillo, lo que es un ideal de un anillo y lo que es un cuerpo algebraicamente cerrado. También haber leído la entrada anterior, Una traducción álgebra - geometría.
domingo, 2 de junio de 2013
Una traducción álgebra - geometría
Para seguir esta entrada conviene saber lo que es un anillo y lo que es un ideal de un anillo.
Las variedades algebraicas afines de $\mathbb{K}^n$ (donde $\mathbb{K}$ es un cuerpo, que a efectos de lo que quiero contar puede pensarse que es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) son los conjuntos de ceros de polinomios de $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$. Por ejemplo, la circunferencia unidad es una variedad algebraica afín de $\mathbb{K}^2$ porque es el conjunto de puntos que satisfacen $X^2 + Y^2 = 1$, es decir, el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = X^2 + Y^2 -1$. También todas las rectas afínes, de ecuación $Y = mX + n$, son conjuntos algebraicos afines de $\mathbb{K}^2$, porque son conjuntos de ceros de polinomios de la forma $f(X,Y) = mX - Y + n$. Pero también son conjuntos algebraicos afines algunas curvas un poco más raras, como la parábola de Neil, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2 - X^3$, o el nudo de Newton, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2-X^3-X^2$.
Las variedades algebraicas afines de $\mathbb{K}^n$ (donde $\mathbb{K}$ es un cuerpo, que a efectos de lo que quiero contar puede pensarse que es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) son los conjuntos de ceros de polinomios de $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$. Por ejemplo, la circunferencia unidad es una variedad algebraica afín de $\mathbb{K}^2$ porque es el conjunto de puntos que satisfacen $X^2 + Y^2 = 1$, es decir, el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = X^2 + Y^2 -1$. También todas las rectas afínes, de ecuación $Y = mX + n$, son conjuntos algebraicos afines de $\mathbb{K}^2$, porque son conjuntos de ceros de polinomios de la forma $f(X,Y) = mX - Y + n$. Pero también son conjuntos algebraicos afines algunas curvas un poco más raras, como la parábola de Neil, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2 - X^3$, o el nudo de Newton, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2-X^3-X^2$.
La notación estándar que suele utilizarse para no tener que estar diciendo todo el rato "conjunto de ceros del polinomio (o polinomios) tal" es la siguiente: dado un conjunto de polinomios $f_1, ..., f_r$, denotamos su lugar de ceros comunes por $V(f_1, ..., f_r)$ (donde $V$ es por variedad). Así, la circunferencia sería $V(X^2+Y^2-1)$, o la parábola (usual) sería $V(Y-X^2)$.
Si ahora consideramos el polinomio $f(X,Y) = (X-Y)(X^2+Y^2-1)$, ¿qué pinta tiene $V(f)$? Un punto $(x,y)$ de $\mathbb{K}^2$ satisface la ecuación $f(x,y) = 0$ si $x-y = 0$, o si $y^2+x^2-1 = 0$ (o ambas condiciones, claro). Por tanto en este caso $V(f)$ es la unión de la recta $Y = X$ con la circunferencia $X^2+Y^2 = 1$. En efecto, si metemos en Wolfram Alpha "(x-y)*(x^2+y^2-1) = 0", el dibujo que nos sale es este:
La diferencia entre este dibujo y los anteriores es evidente: de alguna manera, entendemos que esta variedad es algo así como la unión de dos variedades más pequeñas: una circunferencia y una recta. En cierto sentido, es una variedad algebraica "reducible". Pero, ¿qué entendemos por variedad reducible? Nos gustaría dar una definición satisfactoria de variedad reducible, y eso es lo que vamos a intentar hacer aquí, comparando dos enfoques distintos: el enfoque geométrico y el enfoque algebraico.
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