Fórmula de la coárea

Esta última semana mi director nos ha estado dando un pequeño seminario sobre integración en variedades. Concretamente, sobre la fórmula de la coárea, que es una herramienta muy útil mediante la cual podemos calcular de forma muy sencilla un montón de volúmenes de variedades, como por ejemplo las esferas euclídeas, las bolas, el espacio proyectivo o el grupo ortogonal. Además, la fórmula de la coárea admite como casos particulares algunos resultados importantes como el teorema del cambio de variable o el teorema de Fubini. En esta entrada quiero enseñar varios ejemplos de aplicación de la fórmula.

Topología a partir de propiedades métricas locales

Hace tiempo que tenía pendiente escribir una entrada mostrando una «prueba de existencia» de que se pueden decir cosas sobre la forma global del Universo a partir de ciertas hipótesis que los físicos consideran razonables y de mediciones locales. La topología, la forma, es una propiedad global en el sentido de que todas las variedades topológicas, vistas muy de cerca, son homeomorfas al espacio euclídeo, indistinguibles unas de otras si no nos alejamos lo suficiente como para ver el cuadro en su conjunto. Por este motivo puede resultar sorprendente que en algunas revistas de divulgación científica aparezcan de vez en cuando artículos afirmando que el Universo tiene tal o cual forma, según los últimos datos experimentales.

La prueba de existencia que expongo aquí es el Teorema de Gauss-Bonnet, un resultado que relaciona la curvatura de una superficie diferenciable con su topología.

¿Qué es una singularidad?

La semana pasada estuve en un congreso y uno de los ponentes citó un artículo de Robert Geroch, titulado What is a Singularity in General Relativity?, publicado en el Annals of Physics en 1968. En el artículo Geroch discute varias posibilidades para definir «singularidad» en el contexto de la Relatividad General. En aquella época no estaba claro cuál era la buena definición y, según creí entender en la charla, hoy en día tampoco hay una definición completamente satisfactoria, pero no lo sé con certeza.

Un comentario sobre curvatura cero y volumen

Me he acordado de algo que quería publicar desde hace tiempo pero que se me había pasado. De vez en cuando se puede leer en algunos sitios que los físicos creen que el Universo es, esencialmente, plano. Para resolver la aparente paradoja de que el espaciotiempo pueda ser a la vez finito y sin fronteras se suele recurrir a la clásica analogía de la superficie de una esfera, el caso del planeta Tierra. Sin embargo, ante la afirmación de que el Universo es plano, he llegado a escuchar a físicos divulgadores diciendo que esto implica que el Universo tiene volumen infinito, supongo que porque tienen en mente el espacio euclídeo. Sin entrar a discutir sobre la forma y el volumen del Universo, quiero dejar aquí un ejemplo de variedad plana, cerrada, compacta y de volumen finito que demuestra que esta conclusión no se sigue de las premisas. Está bien tener a mano este ejemplo sencillo igual que el de la esfera.

Cómo construir un toro [Animación]

Sigo aquí atrapado aprendiendo a hacer animaciones en Mathematica. Esta vez me he propuesto hacer una animación de la construcción de un toro a partir de un cuadrado con lados identificados. Esto es lo que me ha salido:

[Código]

Transporte paralelo con torsión [Animaciones]

El año pasado hablaba de la interpretación geométrica de la torsión. Últimamente estoy intentando aprender Mathematica porque los gráficos y las animaciones que se pueden hacer son muy chulos y se generan con unas pocas líneas de código. A modo de ejercicio me he propuesto hacer algunas animaciones de transporte paralelo de una referencia ortonormal en $\mathbb{R}^3$ cuando la conexión es la conexión de Levi-Civita más un tensor antisimétrico, en particular, el tensor dado por el producto vectorial $A(V,W) = V \times W$. Las animaciones son un poco cutres porque todavía no piloto del todo, pero siempre puedo pensar en aquello del 15M «vamos despacio porque queremos llegar muy lejos».

Expresión de la métrica para coordenadas esféricas en la n-esfera unidad

Hoy he tenido que hacer un trabajo de chinos: calcularme la expresión del tensor métrico en $\mathbb{S}^n$ para las coordenadas esféricas. Subo aquí un pdf con el resultado y la demostración para que no se me pierda NUNCA JAMÁS EN MI MALDITA VIDA y por si a alguien le viene bien. Supongo que está todo correcto.

Link

Variedad solución (I)

Durante este curso de máster que estoy haciendo me he ido empapando de una idea, todavía expresada de manera bastante vaga en mi cabeza, pero que me parece interesante. La idea consiste en que a muchos problemas se les puede asociar un objeto geométrico llamado comúnmente variedad solución. Esto permite, de manera bastante sistemática, aplicar técnicas geométricas al estudio de problemas en los que, en principio, no era completamente evidente cómo hacerlo. El otro día tuve una clase de la que disfruté mucho y que me dejó pensando durante un buen rato, uno de esos momentos en los que tu cerebro hace click y tienes la sensación de entenderlo todo mejor. Queriendo dejar constancia de esto en mi diario, tengo previsto escribir dos entradas: la de hoy, contando lo que entendí de la clase del otro día, y otra aplicándolas a un problema concreto: la demostración de una versión generalizada del Teorema Fundamental del Álgebra.

Dualidad álgebra - geometría

Para seguir esta entrada conviene saber lo que es un anillo, lo que es un ideal de un anillo y lo que es un cuerpo algebraicamente cerrado. También haber leído la entrada anterior, Una traducción álgebra - geometría.

Como esta tarde no tengo nada mejor que hacer, voy a extenderme en el tema de la última entrada, explicando por qué la equivalencia entre variedad irreducible e ideal primo no es una serendipia, que diría Iker, sino que hay una verdad más profunda oculta detrás de esto: la categoría de las variedades algebraicas afines sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ algebraicamente cerrado y la categoría de $\mathbb{K}$-álgebras finitamente generadas y reducidas son categorías duales. Veamos qué significa esto.

Una traducción álgebra - geometría

Para seguir esta entrada conviene saber lo que es un anillo y lo que es un ideal de un anillo.

Las variedades algebraicas afines de $\mathbb{K}^n$ (donde $\mathbb{K}$ es un cuerpo, que a efectos de lo que quiero contar puede pensarse que es $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) son los conjuntos de ceros de polinomios de $\mathbb{K}\left[X_1, X_2, ..., X_n\right]$. Por ejemplo, la circunferencia unidad es una variedad algebraica afín de $\mathbb{K}^2$ porque es el conjunto de puntos que satisfacen $X^2 + Y^2 = 1$, es decir, el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = X^2 + Y^2 -1$. También todas las rectas afínes, de ecuación $Y = mX + n$, son conjuntos algebraicos afines de $\mathbb{K}^2$, porque son conjuntos de ceros de polinomios de la forma $f(X,Y) = mX - Y + n$. Pero también son conjuntos algebraicos afines algunas curvas un poco más raras, como la parábola de Neil, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2 - X^3$, o el nudo de Newton, que es el conjunto de ceros del polinomio $f(X,Y) = Y^2-X^3-X^2$.

La notación estándar que suele utilizarse para no tener que estar diciendo todo el rato "conjunto de ceros del polinomio (o polinomios) tal" es la siguiente: dado un conjunto de polinomios $f_1, ..., f_r$, denotamos su lugar de ceros comunes por $V(f_1, ..., f_r)$ (donde $V$ es por variedad). Así, la circunferencia sería $V(X^2+Y^2-1)$, o la parábola (usual) sería $V(Y-X^2)$.

Si ahora consideramos el polinomio $f(X,Y) = (X-Y)(X^2+Y^2-1)$, ¿qué pinta tiene $V(f)$? Un punto $(x,y)$ de $\mathbb{K}^2$ satisface la ecuación $f(x,y) = 0$ si $x-y = 0$, o si $y^2+x^2-1 = 0$ (o ambas condiciones, claro). Por tanto en este caso $V(f)$ es la unión de la recta $Y = X$ con la circunferencia $X^2+Y^2 = 1$. En efecto, si metemos en Wolfram Alpha "(x-y)*(x^2+y^2-1) = 0", el dibujo que nos sale es este:

La diferencia entre este dibujo y los anteriores es evidente: de alguna manera, entendemos que esta variedad es algo así como la unión de dos variedades más pequeñas: una circunferencia y una recta. En cierto sentido, es una variedad algebraica "reducible". Pero, ¿qué entendemos por variedad reducible? Nos gustaría dar una definición satisfactoria de variedad reducible, y eso es lo que vamos a intentar hacer aquí, comparando dos enfoques distintos: el enfoque geométrico y el enfoque algebraico.

Interpretación geométrica de la torsión

Dada una variedad riemanniana $(M,g)$, sabemos que la conexión de Levi-Civita $\nabla$ es simétrica, es decir, se verifica que para toda curva diferenciable $\alpha:I \rightarrow M$ y cada par de campos de vectores $X,Y$ a lo largo de $\alpha$,
$$\nabla_XY - \nabla_YX = [X,Y]$$
Ahora bien, supongamos que tenemos otra conexión $D$ sobre $M$ que no verifica esta condición. Definimos el tensor de torsión como
$$T(X,Y) = D_XY - D_YX - [X,Y]$$
de modo que podemos expresar la condición anterior como que la conexión de Levi-Civita tiene torsión cero, pero la conexión $D$ tiene torsión no nula. Se puede probar que para cualquier conexión afín $D$ sobre $M$, existe un tensor $A$ de tipo $(2,1)$ tal que
$$D_XY = \nabla_XY + A(X,Y)$$
Entonces, podemos calcular la torsión de $D$:
$$T(X,Y) = D_XY - D_YX - [X,Y] = $$
$$= \nabla_XY + A(X,Y) - \nabla_XY - A(X,Y) - [X,Y] = A(X,Y) - A(Y,X)$$
Luego $D$ tiene torsión $0$ (es simétrica) si, y sólo si, $A(X,Y) - A(Y,X) = 0$, si y sólo si, por definición, $A$ es un tensor simétrico. Por otro lado, dada una geodésica $\gamma:I \rightarrow M$ para la conexión de Levi-Civita, se verifica por definición que $\nabla_{\gamma'}\gamma' = 0$, luego
$$D_{\gamma'}\gamma' = \nabla_{\gamma'}\gamma' + A(\gamma',\gamma') = A(\gamma',\gamma')$$
y entonces $\gamma$ es una geodésica para $D$ si, y sólo si, $A(\gamma',\gamma') = 0$, si y sólo si $A$ es un tensor antisimétrico. Con lo anterior, se deduce que $D$ define las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita y tiene torsión cero si, y sólo si, $A$ es simétrico y antisimétrico, lo que ocurre sólo si $A$ es idénticamente nulo, en cuyo caso $D$ es precisamente la conexión de Levi-Civita.
Ahora bien, dada una conexión $D$ que define las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita, ¿cómo se interpreta geométricamente que tenga torsión no nula? Intentaremos dar una idea con un pequeño ejemplo.

Grupos de Lie (II): La aplicación exponencial

En esta entrada quiero presentar la aplicación exponencial de un grupo de Lie, uno de esos objetos que aparecen de vez en cuando en matemáticas y que, mágicamente, conectan otros objetos que intuíamos relacionados, pero sin terminar de ver bien el bosque. Se trata de una aplicación que se puede definir en cualquier álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie, y que permite reconstruir completamente un grupo de Lie (en el caso conexo) a partir de su álgebra de Lie. En el caso del grupo de Lie $\mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus \{0\}$, la aplicación exponencial será la exponencial real $e^t$ que todos conocemos, y en el caso de las matrices, será la exponencial matricial $e^A$ que conocerá todo aquel que sepa resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.

[Trabajo] Grupos de Lie

Al fin he terminado mi tabajo sobre grupos de Lie para mi asignatura de Topología Diferencial, así que dejo aquí el enlace de descarga (Netkups), por si alguien quiere echarle un vistazo.

Link

Edit: si en el futuro la descarga no está disponible y hay alguien interesado en el trabajo, que me lo diga en un comentario y lo resubiré.

Distribuyendo puntos en la esfera

Hoy voy a hablar de un problema abierto que conozco desde que un profesor mío que trabajaba sobre él me lo enseñó hace dos años, que me parece sencillo de comprender y no por ello menos interesante: se trata del problema número 7 de la lista de Smale.