Se celebran elecciones al Parlamento.
De los 97 diputados, el Partido A obtiene 48 y el resto de fuerzas obtienen 49.
Por tanto, el resto de fuerzas deben gobernar.
De los 49 diputados restantes, el Partido B obtiene 24 diputados y el resto de fuerzas obtienen 25.
Por tanto, el resto de fuerzas deben gobernar.
De los 25 diputados restantes, el Partido C obtiene 12 diputados y el resto de fuerzas obtienen 13.
Por tanto, el resto de fuerzas deben gobernar.
De los 13 diputados restantes, el Partido D obtiene 6 diputados y el resto de fuerzas obtienen 7.
Por tanto, el resto de fuerzas deben gobernar.
De los 7 diputados restantes, el Partido E obtiene 3 diputados y el resto de fuerzas obtienen 4.
Por tanto, el resto de fuerzas deben gobernar.
Para los partidos F y G sólo hay dos opciones: o F tiene 3 y G tiene 1, en cuyo caso gobernaría F, o ambos tienen 2 diputados cada uno, en cuyo caso deberían ponerse de acuerdo, ya que las matemáticas no sentencian nada.
¿Cuáles son los números mágicos que fuerzan a que gobierne el partido con el menor número de diputados posible, maximizando lo ajustado de las mayorías, para poder así generar más polémica y posibles disturbios en las calles? Comenzando ahora desde abajo hacia arriba, el partido que gobierne debería tener, por lo menos, 2 diputados. Estos se impondrían sobre el último partido, que suponemos ideológicamente afín, y que obtendría un único diputado. Estos 3 diputados se estarían imponiendo sobre otro grupo de 2 diputados. Los 5, en conjunto, se impondrían sobre 4. Los 9, sobre 8, los 17, sobre 16, etcétera.
3, 5, 9, 17, 33, 65, 129, ...
En general, para que en un parlamento pueda gobernar un partido con 2 diputados y con las mayorías lo más ajustadas posible, hay que establecer un número total de diputados en la sucesión
$$a_1 = 3, \quad a_{n+1} = 2a_n-1.$$Explícitamente,
$$a_n = 2^n+1.$$
