domingo, 11 de marzo de 2012

La magia del lema de Zorn

Hace tiempo que me dijeron que todo espacio vectorial (de dimensión cualquiera) admite una base, y que para demostrarlo era necesario el Axioma de Elección (Axiom of Choice, AC) en el sentido de que si no añadiéramos este axioma a los axiomas de Zermelo-Fraenkel, existirían espacios vectoriales sin base, y claro, esto sería un auténtico desastre. Sin embargo hasta ahora no me había molestado en echar un vistazo a esta demostración, y como me ocurre casi siempre que veo una demostración que usa el AC, termino con la sensación de que la prueba se reduce a "lo hizo un mago".

La demostración no usa exactamente el AC, sino una caracterización suya: el lema de Zorn, que garantiza la existencia de elemento maximal para un conjunto pidiendo ciertas condiciones sobre una relación de orden definida en él. Ya que me he molestado en mirarlo, lo dejo aquí escrito a ver qué pensáis vosotros (en caso de que exista un "vosotros" porque sospecho que nadie me lee).




Definición. Sea $M$ un conjunto. Una relación $\leq$ sobre $A$ se llama orden parcial si satisface:
  1. Es reflexiva. Es decir, $x \leq x$ para todo $x \in M$.
  2. Es antisimétrica: si $x \leq y$ y $y \leq x$, entonces $x = y$.
  3. Es transitiva: si $x \leq y$ y $y \leq z$, entonces $x \leq z$.
El par $(M,\leq)$ donde $M$ es un conjunto y $\leq$ una relación de orden parcial sobre $M$ se llama conjunto parcialmente ordenado.

El apellido "parcial" significa que pueden existir elementos en el conjunto que no sean comparables, es decir, que pueden existir $x$ e $y$ tales que no se cumple $x \leq y$ ni tampoco $y \leq x$. Si todos los elementos del conjunto son comparables, entonces se dice que $\leq$ es una relación de orden total, y el par $(M,\leq)$ se llama conjunto totalmente ordenado.

Dado un subconjunto $N$ de $M$, un elemento $x \in M$ se llama cota superior de $N$ si es mayor que todos los elementos de $N$. Es decir, $y \leq x$ $\forall y \in N$. Finalmente, un elemento $x \in M$ se dice maximal si no existe $z \in M$ tal que $z \neq x$ y $x \leq z$. La diferencia con la definición anterior es muy sutil. Un elemento maximal es "algo así como" una cota superior para $M$ dentro del propio $M$.
Vistas estas definiciones, ya estamos preparados para entrar en materia.

Teorema (Lema de Zorn). Sea $M$ un conjunto parcialmente ordenado tal que cada subconjunto $N$ de $M$ totalmente ordenado posee una cota superior. Entonces $M$ posee al menos un elemento maximal.

La demostración de este teorema utiliza, como ya he dicho, el Axioma de Elección, por lo que no sabemos qué pinta tiene este elemento maximal, que puede ser un auténtico engendro; sólo sabemos que existe. Vamos con la demostración del teorema para espacios vectoriales.

Definición. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $K$. Una base de $V$ es un subconjunto $B \subseteq V$ que satisface:
  1. Para todo $v \in V$ existen $x_1, x_2, ..., x_n \in B$ y $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in K$ de modo que $v = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + ... + \lambda_n x_n$. (Es sistema generador)
  2. Dados $x_1, x_2, ..., x_n \in B$ y $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in K$, si $\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + ... + \lambda_n x_n = 0$, entonces necesariamente $\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n = 0$. (Es linealmente independiente)
Observar que en el caso de que $B$ sea un conjunto infinito, las condiciones que se imponen para que sea base siguen siendo de carácter finito. Esto quiere decir que algo como una serie infinita no es una combinación lineal. Una combinación lineal es una suma finita. Por ejemplo, si consideramos el espacio vectorial de los polinomios con coeficientes en $\mathbb{R}$, el conjunto $\{1, x, x^2, x^3, ... \}$ es una base con una cantidad infinita de elementos.

Para el caso de espacios vectoriales de dimensión finita sobre $K$, todos son isomorfos a $K^n$, y es muy fácil probar que existe una base empleando un razonamiento inductivo sobre un proceso finito. La demostración se basa en ir construyendo $B$ añadiendo elementos de uno en uno hasta que nos pasemos, y podemos hacerlo así porque el proceso termina en algún momento, porque la dimensión es finita. Sin embargo no podemos razonar de esta manera para el caso en que la dimensión de $V$ es cualquier cosa.

Teorema. Todo espacio vectorial admite una base.

Demostración. Sea $V$ un espacio vectorial sobre un cuerpo $K$, y sea $M$ la familia de todos los subconjuntos de $V$ que son linealmente independientes (en el caso de $\mathbb{R}^3$, por ejemplo, $\{(1,0,0), (0,1,0)\}$ y $\{(1,3,4)\}$ serían elementos de $M$).

Se tiene que $M \neq \emptyset$, porque si $v \in V$ es un vector, la familia formada por él mismo, $\{v\}$ es linealmente independiente. Además la relación de inclusión $\subseteq$ en $M$ define una relación de orden parcial sobre $M$. Por ejemplo, en $\mathbb{R}^3$, $\{(1,0,0)\} \subseteq \{(1,0,0),(0,1,0)\}$ por lo que diríamos que el primer elemento es "menor o igual" que el segundo. Ahora veamos que $M$ satisface la segunda hipótesis para poder aplicar el lema de Zorn:

Sea $N$ un subconjunto de $M$ totalmente ordenado, y veamos que tiene cota superior. Definimos $X = \bigcup_{L \in N} L$. Es decir, mezclamos en $X$ todos los vectores que están en los elementos $L$ de $N$. Ahora $X$ es cota superior de $N$ porque si $L_0 \in N$, entonces $L_0 \subseteq \bigcup_{L \in N} L = X$. Veamos que $X \in M$, esto es, que los vectores que hay en $X$ son linealmente independientes.

Sea $\{x_1, x_2, ..., x_n\}$ un subconjunto finito de $X$. Como $X$ es unión de elementos $L$ de $N$, existirán $L_1, L_2, ..., L_n$ (no necesariamente distintos) tales que $x_1 \in L_1, x_2 \in L_2, ..., x_n \in L_n$. Como $N$ es totalmente ordenado, todos los $L_i$ son comparables, y podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que $L_n \subseteq L_{n-1} \subseteq ... \subseteq L_1$, por lo que $x_1, x_2, ..., x_n \in L_1$. Como por hipótesis $L_1$ es un conjunto de vectores linealmente independientes, $\{x_1, x_2, ..., x_n\} \subseteq L_1$ son linealmente independientes.

Hemos probado que $M$ es un conjunto parcialmente ordenado y que todo subconjunto $N$ de $M$ que esté totalmente ordenado posee una cota superior $X$ en $M$. Por el lema de Zorn, (y aquí es donde viene el mago Merlín a hacer de las suyas), $M$ posee un elemento maximal $X_0$. Veamos que $X_0$ es la base de $V$ que buscábamos:
  1. Es sistema generador: dado $v \in V$, si $v \in X_0$ entonces $v$ está en el espacio generado por $X_0$ y ya lo tenemos. Si $v \notin X_0$ tenemos dos posibilidades. Si $v = 0$, entonces $v$ está en el espacio generado por $X_0$. Si $v \neq 0$, el conjunto $X_0 \cup \{v\}$ no puede ser linealmente independiente porque $X_0$ es un elemento maximal. Entonces deben existir $x_1, x_2, ..., x_n \in X_0$ y escalares (no todos nulos) $\lambda, \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n \in K$ de forma que $\lambda v + \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + ... + \lambda_n x_n = 0^{\ (*)}$. Despejando $v$ obtenemos su expresión como combinación lineal de elementos de $X_0$, de donde $v$ está en el espacio generado por $X_0$.
  2. Es linealmente independiente porque ya habíamos probado que $X_0 \in M$ y todos los elementos de $M$ son, por construcción, conjuntos de vectores linealmente independientes.
Por tanto $X_0$ es una base de $V$.

$(*)$ Esto no es completamente evidente, pero es un resultado básico que se puede encontrar en cualquier libro de álgebra lineal.

La demostración del teorema no es constructiva, así que no sabemos qué aspecto tiene la base que hemos encontrado. ¿Debería ser "legal" hacer este tipo de cosas? Puede que no, pero sin el Axioma de Elección nos perderíamos gran parte de las matemáticas.

2 comentarios:

  1. Jejeje, tienes razón. Nadie te comenta. Me interesó mucho tu forma de ver la demostración, y eres muy claro en todos los pasos. Gracias! Saludos!

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  2. ...por lo que no sabemos qué pinta tiene este elemento maximal, que puede ser un auténtico engendro... jajaja, buena argumentación, excelente demostración.

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