miércoles, 25 de abril de 2012

Una aproximación intuitiva a la conjetura de Poincaré diferenciable

Cualquiera que esté medianamente al tanto de la actualidad científica, y en particular, matemática, habrá oído hablar alguna vez de la famosa conjetura de Poincaré, que dice lo siguiente:

Toda variedad diferenciable de dimensión $3$, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^3$.
 La conjetura no es tal, es un teorema demostrado en 2002 por Perelman, tristemente famoso por el revuelo que causó al rechazar el premio de un millón de dólares que le concedía el Instituto Clay por la resolución de la conjetura (era uno de los Millenium Prize), así como la Medalla Fields.
 En esta entrada introduciremos brevemente el significado de la conjetura de Poincaré para plantear una conjetura muy relacionada y aún sin resolver: la conjetura diferenciable de Poincaré, que dice:

Toda variedad diferenciable de dimensión $4$, cerrada y simplemente conexa es difeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^4$.

Como ya habíamos visto en otra entrada, una topología $\tau$ sobre un conjunto $X$ es una familia de subconjuntos de $X$, cuyos elementos se llaman abiertos, tal que $X, \emptyset \in X$, la unión de una familia cualquiera de abiertos es de nuevo un abierto, y la intersección de una cantidad finita de abiertos es un abierto. Las aplicaciones que se usan para relacionar y comparar espacios topológicos son las aplicaciones continuas. Una aplicación $f:X \rightarrow Y$ entre dos espacios topológicos se dice que es continua si para todo abierto $U$ de $Y$, la antimagen $f^{-1}(U)$ es un abierto en $X$. Para los que hayan visto la definición de función continua $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, ésta coincide con la definición que ponemos aquí, que es la general, sólo que como $\mathbb{R}$ es un espacio métrico, se pueden dar versiones equivalentes (más prácticas) de la noción de continuidad. Una aplicación continua puede mirarse como una aplicación entre las topologías de $X$ e $Y$: lo que hace una función continua es identificar todos los abiertos de $Y$ con algunos abiertos de $X$. Observar que una aplicación continua no tiene por qué mandar abiertos de $X$ en abiertos de $Y$, sólo al revés. Esto último se relaciona con el concepto de homeomorfismo. Una aplicación $f:X \rightarrow Y$ entre dos espacios topológicos se llama homeomorfismo si es continua, biyectiva (por lo que existe la inversa), y su inversa también es continua. Los homeomorfismos son identificaciones (biyecciones) no sólo entre los espacios $X$ e $Y$, sino también entre sus topologías: para cada abierto $U$ de $Y$, como $f$ es continua, $f^{-1}(U)$ es un abierto de $X$, y para cada abierto $V$ de $X$, como la inversa $f^{-1}$ es continua, $(f^{-1})^{-1}(V)$ es un abierto de $Y$. Por tanto los homeomorfismos nos permiten pasar de una topología a otra como queramos

$\{\text{Abiertos de } X\} \stackrel{f }{\longleftrightarrow} \{\text{Abiertos de } Y\}$

Cuando existe un homeomorfismo entre dos espacios topológicos $X$ e $Y$, decimos que los espacios son homeomorfos. Desde el punto de vista exclusivamente topológico, dos espacios homeomorfos son "iguales", ya que cualquier propiedad que verifique $X$, y que involucre exclusivamente características de su topología (llamadas propiedades topológicas o invariantes topológicos), se conserva por homeomorfismo. Esto es, si $X$ e $Y$ son homeomorfos y $X$ verifica una cierta propiedad topológica $p$, entonces $Y$ también verifica la propiedad $p$. Por ejemplo, una propiedad topológica es la conexión: si $X$ es un conjunto que tiene dos "trozos" e $Y$ es homeomorfo a $X$, entonces $Y$ también tiene dos trozos. Si $X$ es compacto, $Y$ es compacto. Si $X$ es Hausdorff, $Y$ es Hausdorff. Si $X$ tiene cardinal $C$, como un homeomorfismo es una biyección, $Y$ también tiene cardinal $C$, etc. Y todos los respectivos viceversas.

Si nos dan dos espacios topológicos $X$ e $Y$, y queremos demostrar que son homeomorfos, bastará con encontrar un homeomorfismo $f$ entre ellos. Sin embargo, si queremos demostrar que dos espacios topológicos NO son homeomorfos, esto es harina de otro costal, porque lo que tendremos que demostrar es que NO existe ningún homeomorfismo entre ellos, cosa que en general no es sencilla. Lo que se hace para resolver este problema es estudiar los invariantes topológicos: supongamos que encontramos una propiedad topológica que cumple $X$ pero no $Y$. Si existiera un homeomorfismo $f$ entre ellos, la propiedad que cumple $X$ debería cumplirla también $Y$, pero no la cumple, por lo que tal $f$ no existe y los espacios no son homeomorfos, son topológicamente distintos.

Consideremos los siguientes ejemplos:
  • El intervalo $(0,2) \subset \mathbb{R}$ con la topología usual de subespacio ($U$ es abierto en $(0,2)$ si y sólo si existe $V$ abierto en $\mathbb{R}$ tal que $U = \mathbb{R}\cap V$), es homeomorfo al intervalo $(0,1)$, también con la topología usual de subespacio. Se puede demostrar que la aplicación $f:(0,2)  \rightarrow (0,1)$ dada por $f(x) = {x \over 2}$ es continua, biyectiva, y su inversa está dada por $f^{-1}(x) = 2x$. Podemos visualizar esta aplicación como la que hace que $(0,2)$ se "encoja" a la mitad hasta convertirse en $(0,1)$, y la inversa $f^{-1}$ es la que "estira" $(0,1)$ para convertirlo en $(0,2)$.
  • Un punto $x_0 \in \mathbb{R}$ no es homeomorfo a $\mathbb{R}$ porque tienen distinto cardinal.
  • $\mathbb{R}$ no es homeomorfo a $\mathbb{R}^2$, porque si a $\mathbb{R}$ le quitamos un punto, el resultado es un espacio disconexo (tiene dos trozos), pero si a $\mathbb{R}^2$ le quitamos un punto, obtenemos un espacio conexo (sólo que tiene un agujero).
Hay un tipo especial de espacios topológicos, llamados variedades topológicas, que son aquellos que cumplen que para cada punto $p \in X$ existe un abierto $U$ de $X$ que contiene a $p$ y un homeomorfismo $f:U \rightarrow \mathbb{R}^n$. La definición formal es algo más técnica, pero lo que tenemos que entender es que una variedad topológica es un espacio topológico que "cerca" de cada punto se parece mucho (es homeomorfo) al espacio euclídeo $\mathbb{R}^n$ de dimensión $n$. El $n$ de la dimensión del espacio euclídeo se dice también que es la dimensión de la variedad. Consideremos el siguiente dibujo:


Las tres primeras figuras son variedades topológicas de dimensión $1$, porque, intuitivamente, en cada punto hay un entorno que se puede deformar de forma continua a la recta real $\mathbb{R}$. Sin embargo la cuarta figura no es una variedad topológica, ya que en todos los puntos hay un entorno homeomorfo a la recta, salvo en el punto de autointersección de la curva, en el que el entorno tiene "forma de $\times$", y eso no es homeomorfo a la recta (por ejemplo, porque si a la recta le quitamos un punto nos quedan dos componentes conexas, y si le quitamos el punto central a la $\times$ nos quedan cuatro componentes conexas).

Para variedades topológicas de dimensión $2$, llamadas superficies, tenemos algunos ejemplos aquí:

El primero ejemplo es una esfera de dimensión $2$ (o $2$-esfera). El segundo ejemplo es un toro (homeomorfo a un Donut). El tercero es una banda de Möbius, que es una superficie no orientable. Es importante no pensar que la esfera y el toro están rellenos, porque de hecho son "huecos". La idea de que estos espacios topológicos son variedades de dimensión $2$ es que en cada punto tienen un entorno que es homeomorfo al plano $\mathbb{R}^2$.

Siguiendo el ejemplo de las variedades topológicas, podemos definir algo más fuerte: las variedades diferenciables. Una variedad diferenciable es como una variedad topológica, pero se pide que las aplicaciones locales $f:U \rightarrow \mathbb{R}^n$, llamadas cartas, sean, además de homeomorfismos, diferenciables y de inversa diferenciable: que sean difeomorfismos. Intuitivamente, una variedad diferenciable es una variedad topológica sin "picos", y una aplicación diferenciable es una aplicación cuya gráfica no tiene picos. Una técnica básica en el estudio de las variedades diferenciables es el estudio del espacio tangente a la variedad, así que necesitamos que éste esté bien definido, cosa que no ocurre si la variedad tiene algún pico:

Es por ello que una curva lisa o una elipse son variedades diferenciables (de dimensión $1$), y una esfera es una variedad diferenciable de dimensión $2$. Un triángulo o un cono no son variedades diferenciables porque tienen picos: puntos en los que no sabemos muy bien cómo definir el espacio tangente (en realidad sí lo son teniendo un poco de cuidado para definir la estructura de las cartas, pero no entraremos en detalles).

Al igual que hacíamos con los espacios topológicos, diremos que dos variedades diferenciables $M$ y $N$ son difeomorfas si existe un difeomorfismo $f:M \rightarrow N$. Como todo difeomorfismo es, en particular, un homeomorfismo (toda aplicación diferenciable es continua), si dos variedades son difeomorfas, entonces son homeomorfas como espacios topológicos (o lo que es lo mismo: si no son homeomorfas, no pueden ser difeomorfas), pero el recíproco no es cierto en general: sólo en ciertos casos se cumple que dos variedades son difeomorfas si y sólo si son homeomorfas.

Supongamos, por ejemplo, que queremos saber si la esfera y el toro (Donut) $2$-dimensionales son homeomorfos o no.  Intentamos buscar un homeomorfismo entre ellos, pero no lo encontramos. El problema está en el agujero del toro: resulta que los agujeros que tiene una variedad diferenciable son invariantes topológicos. Para ello se desarrolla una de las herramientas básicas de la topología algebraica: la homotopía. Si consideramos sobre la superficie de la esfera un lazo con "base" en un punto $x_0$, resulta que siempre podemos deformarlo de forma continua (encogerlo) hasta obtener el punto $x_0$, sin mover dicho punto de su sitio durante de deformación, y esto sea cual sea el lazo escogido.

Esto se expresa diciendo que todos los lazos sobre la esfera son homótopos al lazo constante. En general, dos lazos con base en un punto $x_0$ de una variedad diferenciable se dicen homótopos si se puede deformar de forma continua uno en el otro sin mover el punto $x_0$ durante la deformación. Si escogemos un punto de una variedad diferenciable, podemos considerar el conjunto de todos los lazos con base en un punto. Entonces pasamos al cociente identificando cada lazo con todos los que son homótopos a él, obteniendo una estructura de grupo junto con la operación de concatenación (recorrer primero un lazo y luego otro), y se llama grupo fundamental de la variedad. En la esfera todos los lazos son homótopos al lazo constante, por lo que el grupo cociente tiene un único elemento, y decimos que el grupo fundamental de la esfera $\mathbb{S}^2$ es $\pi_1(\mathbb{S}^2,x_0)$ es el grupo trivial $\{0\}$.

Una variedad diferenciable se dice simplemente conexa si su grupo fundamental es trivial.

Ahora echemos un vistazo al toro. Resulta que el toro tiene lazos que no son homótopos entre sí: en concreto, tiene tres tipos de lazos que no pueden deformarse los unos en los otros:

Por eso el grupo fundamental del toro $\pi_1(\mathbb{T}^2,x_0)$ es isomorfo al grupo $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ con la suma: el lazo rojo es el lazo trivial, que se identifica con el elemento $(0,0)$, y los lazos azul y verde son las dos componentes: si damos $a$ vueltas al toro como las del lazo azul, y $b$ vueltas como las del lazo verde, entonces obtenemos un tipo de lazo que se identifica con el elemento $(a,b)$ del grupo fundamental. Análogamente, podemos calcular los grupos fundamentales del toro de $2$ agujeros, el de $3$, el de $4$... que son todos distintos. El grupo fundamental es un invariante topológico, así que, como la esfera y el toro tienen grupos fundamentales distintos, no pueden ser homeomorfos (por tanto, tampoco difeomorfos).

Hemos hecho ejemplos con superficies (dimensión $2$) porque se pueden dibujar fácilmente, pero no es muy difícil pensar en los análogos para dimensiones superiores (siempre usando lazos de dimensión $1$). Ahora más o menos podemos entender lo que pide la conjetura de Poincaré. Recordamos que dice:
Toda variedad diferenciable de dimensión $3$, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^3$.
Una variedad diferenciable cerrada es una variedad sin borde, compacta y conexa. Algo parecido al toro, o la esfera para dimensión $2$. Fijémonos en que lo que nos está diciendo es que para estas variedades, si el grupo fundamental (un invariante topológico) es el mismo, entonces las variedades son homeomorfas. Esto es lo contrario de lo que pasa habitualmente: podemos ir comprobando una lista enorme de invariantes topológicos que son iguales en dos espacios topológicos, y que sin embargo los espacios no sean homeomorfos, pero en este caso particular, sí es así. De hecho se tiene la conjetura de Poincaré generalizada para cualquier dimensión $n$:
Toda variedad diferenciable de dimensión $n$, cerrada y simplemente conexa es homeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^n$.
 Para $n = 1$ (la circunferencia) el resultado es muy sencillo. El propio Poincaré lo demostró para $n = 2$, Smale para $n \geq 5$ y Freedman para $n = 4$. Estos dos últimos son resultados de los años $60$, y hubo que esperar hasta Perelman para la demostración en el caso $n = 3$. Hay que decir que este problema ha sido muy difícil de resolver: tanto que ha marcado en gran medida la línea de estudio en matemáticas en el siglo $XX$ y ha dejado en el camino varias medallas Fields.

El problema está por tanto resuelto para todo $n$. Sin embargo, nos hacemos la siguiente pregunta:
¿Toda variedad diferenciable de dimensión $n$, cerrada y simplemente conexa es difeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^n$?
Esta pregunta recibe el nombre de conjetura de Poincaré diferenciable generalizada. La condición "ser difeomorfo" es más fuerte que "ser homeomorfo", como en la conjetura de Poincaré, ya que difeomorfo implica homeomorfo. Se ha demostrado que para $n = 1, 2, 3$, las categorías de espacios topológicos y de variedades diferenciables son equivalentes. Quiere decir esto que en estas dimensiones, dos variedades diferenciables son difeomorfas si y sólo si son homeomorfas. Por lo tanto en estas dimensiones la conjetura es cierta porque es equivalente a la conjetura de Poincaré topológica.

Reflexionemos un momento. El grupo fundamental es un invariante topológico. Esto significa que lo que estamos buscando son dos esferas que sean topológicamente equivalentes, pero cuyas estructuras diferenciables sean distintas. Esto es lo que se conoce como esferas exóticas. Resulta que a partir de $n = 4$ las categorías topológica y diferenciable ya no son iguales. En dimensión $4$, por ejemplo, ocurren cosas muy raras: hay espacios topológicos que son tan "picudos" que no admiten ningún tipo de estructura de variedad diferenciable. También hay espacios topológicos exóticos: podemos definir sobre el mismo espacio topológico, distintas estructuras diferenciables que no son equivalentes desde el punto de vista diferenciable. Un ejemplo es el propio $\mathbb{R}^4$, que es una variedad topológica de dimensión $4$ y admite más de una estructura diferenciable, de hecho, admite infinitas. Son los llamados $\mathbb{R}^4$ exóticos. Un resultado curioso es el siguiente: $\mathbb{R}^n$ admite una única estructura de variedad diferenciable salvo para $n = 4$, que admite infinitas.

En el caso de las esferas, conocemos el número de estructuras que admiten en cada dimensión (con algún margen de error en algunos casos), salvo en $n = 4$. Si llamamos $f(n)$ a la función que nos dice el número de estructuras diferenciables distintas que admite la esfera en dimensión $n$, tenemos la siguiente tabla:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ...
f(n) 1 1 1 ? 1 1 28 2 8 6 992 1 3 2 16256 2 16 16 ...

Esto significa que el problema está resuelto para $n \geq 5$: donde en general la conjetura no es cierta: a veces sí, y a veces no, depende de la dimensión; por lo que obtenemos la conjetura de Poincaré diferenciable:

¿Toda variedad diferenciable de dimensión $4$, cerrada y simplemente conexa es difeomorfa a la esfera $\mathbb{S}^4$?
El problema se "reduce" ahora a encontrar alguna esfera exótica en dimensión $4$. Si encontramos dos esferas (homeomorfas) con distintas estructuras diferenciables, tendrán el  mismo grupo fundamental porque éste es un invariante topológico, pero no serán homeomorfas, y la respuesta a la pregunta será negativa. Muchos matemáticos creen de hecho que es negativa, que existen esferas exóticas en dimensión $4$ porque en esta dimensión suelen ocurrir cosas muy raras. No obstante, éste sigue siendo un problema muy difícil de resolver, muy famoso en la disciplina llamada topología de dimensiones bajas. Si creéis que podéis encontrar esferas exóticas, adelante. Os espera un gran futuro como famosos entre los frikis.

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