Grupos de Lie (II): La aplicación exponencial

En esta entrada quiero presentar la aplicación exponencial de un grupo de Lie, uno de esos objetos que aparecen de vez en cuando en matemáticas y que, mágicamente, conectan otros objetos que intuíamos relacionados, pero sin terminar de ver bien el bosque. Se trata de una aplicación que se puede definir en cualquier álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie, y que permite reconstruir completamente un grupo de Lie (en el caso conexo) a partir de su álgebra de Lie. En el caso del grupo de Lie $\mathbb{R}^* = \mathbb{R}\setminus \{0\}$, la aplicación exponencial será la exponencial real $e^t$ que todos conocemos, y en el caso de las matrices, será la exponencial matricial $e^A$ que conocerá todo aquel que sepa resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden.




Antes de empezar, es recomendable saber lo que es un grupo de Lie y algo de geometría diferencial (aplicaciones diferenciables, diferencial de una aplicación, espacio tangente, campos de vectores, corchete de Lie...) o leer esta introducción a grupos de Lie que hice yo y que ya publiqué anteriormente en este blog.

Si $G$ es un grupo de Lie con elemento neutro $e$, para cada $g \in G$ podemos considerar la traslación a izquierda por $g$, $L_g:G \rightarrow G$ dada por $L_g(h) = gh$ que es un difeomorfismo e induce, por medio de la diferencial, una manera canónica de relacionar el espacio tangente en el elemento neutro con el espacio tangente en $g$: el isomorfismo de espacios vectoriales

$$(L_g)_*(e): T_eG \longrightarrow T_gG$$

 Si ahora consideramos el conjunto de campos de vectores sobre $G$, $\mathfrak{X}(G)$, diremos que un campo $X \in \mathfrak{X}(G)$ es invariante por traslaciones a izquierda si para todo $g \in G$ se cumple que $(L_g)_*X = X$. Denotamos al conjunto de campos invariantes por traslaciones a izquierda por $\mathcal{L}(G)$. Resulta que el corchete de Lie que está definido en $\mathfrak{X}(G)$, pasa bien a $\mathcal{L}(G)$, haciendo del par $(\mathcal{L}(G),[ , ])$ una subálgebra de Lie de $(\mathfrak{X}(G),[ , ])$ y, por tanto, un álgebra de Lie en si misma. Diremos entonces que $\mathcal{L}(G)$ es el álgebra de Lie del grupo de Lie $G$ y, la denotaremos, como es habitual en las álgebras de Lie, con una letra fraktur minúscula $\mathfrak{g}$.

Consideremos ahora lo siguiente: dado un vector $A \in T_eG$, definimos el campo de vectores $\mathbb{A}$ como $\mathbb{A}(x) = (L_x)_*A$. Es decir, a cada punto $x$ de $G$ se le asocia el resultado de empujar el vector $A$ por la diferencial de $L_x$, que es un vector tangente a $x$. Se puede probar que esta asociación define un campo de vectores diferenciable y es sencillo comprobar que $\mathbb{A}$ es invariante por traslaciones a izquierda, es decir, $\mathbb{A} \in \mathcal{L}(G)$. Por tanto lo que hemos hecho es asociar a cada vector $A$ del espacio tangente a la identidad $T_eG$ un elemento del álgebra de Lie de $G$. Lo curioso de este asunto es que la flecha se puede invertir: se puede probar que todo campo de vectores invariante por traslaciones a izquierda es de esta forma. Además, en los campos invariantes por traslaciones a izquierda se cumple la siguiente propiedad: si $\mathbb{A}, \mathbb{B} \in \mathcal{L}(G)$, entonces para todo $x \in G$ se cumple

$$(L_x)_*[\mathbb{A},\mathbb{B}] = [(L_x)_*\mathbb{A},(L_x)_*\mathbb{B}]$$

y como $\mathbb{A}$ y $\mathbb{B}$ son invariantes por traslaciones a izquierda, esto a su vez es igual a $[\mathbb{A},\mathbb{B}]$. Todo esto nos permite identificar el espacio $\mathcal{L}(G)$ con $T_eG$ (que es como $\mathbb{R}^n$) con el corchete definido, para $A,B \in T_eG$ como

$$[A,B] := [\mathbb{A},\mathbb{B}]_e$$

es decir, que para calcular el corchete de dos vectores de $T_eG$ lo que tenemos que hacer es calcular sus campos correspondientes, hacer su corchete de Lie y evaluarlo en el elemento neutro.

Vamos a hacer un ejemplo tonto: sea $G = (\mathbb{R}^*, \cdot)$ el conjunto de todos los números reales no nulos junto con el producto de números reales (aquí e = 1). Dado $x \in \mathbb{R}^*$, la traslación a izquierda por $x$ viene dada como $L_x:\mathbb{R}^* \longrightarrow \mathbb{R}^*$ con $L_x(a) = xa$, y su diferencial (derivada en este caso) aplica el vector tangente $A\frac{\partial}{\partial t} \in T_1\mathbb{R}^*$  en el vector $xA \frac{\partial}{\partial t} \in T_x\mathbb{R}^*$, lo que quiere decir que para $A \in T_1\mathbb{R}^*$ es $\mathbb{A}(x) = xA$. Escrito en la carta identidad $\varphi(t) = t$, este campo es

$$\mathbb{A} = tA\frac{\partial}{\partial t}$$

Entonces ya casi tenemos calculada el álgebra de Lie: $T_1\mathbb{R}^* \cong \mathbb{R}$, ¿y cómo es el corchete? Aplicando la definición, si $A, B \in \mathbb{R}$, entonces

$$[A,B] = [\mathbb{A},\mathbb{B}]_1 = [tA\frac{\partial}{\partial t},tB\frac{\partial}{\partial t}]_1 = tA\frac{\partial (tB)}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t} - tB\frac{\partial tA}{\partial t}\frac{\partial}{\partial t} =$$
$$= tAB-tBA = tAB-tAB = 0$$

Vaya por Dios, el corchete de Lie aquí es siempre $0$. Un álgebra de Lie de este tipo (con un corchete idénticamente nulo) se llama álgebra de Lie abeliana. ¿Y por qué tiene nombre si es tan poco interesante? pues porque se puede demostrar que un grupo de Lie (conexo) es abeliano si y sólo si su álgebra de Lie es abeliana, i.e. si el corchete es siempre cero.

Ejemplos de grupos de Lie abelianos tenemos muchos: por ejemplo la circunferencia $\mathbb{S}^1 \subset \mathbb{C}$ junto con el producto de números complejos, o el toro $\mathbb{T}^2 = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1$ con la estructura producto. Haciendo caso a lo anterior, como son abelianos, sus álgebras de Lie correspondientes serán, respectivamente, $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}^2$, ambos con el corchete nulo.

¿Dónde podemos irnos para encontrar grupos de Lie con un álgebra de Lie un poco más interesante? No muy lejos, con las matrices nos vale. Consideremos el grupo lineal general

$$GL(n,\mathbb{R}) = \{A \in \mathbb{R}^{n \times n} : det(A) \neq 0\}$$

que es un grupo de Lie. Si hiciéramos un pequeño esfuerzo, podríamos también calcular su álgebra de Lie, y en este caso obtendríamos que se trata de $gl(n,\mathbb{R})$, el conjunto de todas las matrices cuadradas $n \times n$ (sin pedir ninguna condición más) con el corchete dado, para dos matrices $A,B \in gl(n,\mathbb{R})$, por

$$[A,B] = AB - BA$$

Una vez vistos un par de ejemplos, vamos a continuar hacia la definición de la aplicación exponencial, que será, para un grupo de Lie $G$, una aplicación $exp:\mathfrak{g} \rightarrow G$ que va a permitir recuperar $G$ a partir de $\mathfrak{g}$. ¿Todo $G$? La verdad es que no, eso sólo si $G$ es conexo. ¿Qué pasa si $G$ no es conexo? Como el álgebra de Lie depende de lo que ocurre en un entorno del elemento neutro, $\mathfrak{g}$ guarda toda la información de $G_e$, la componente conexa de $G$ en la que se encuentra $e$, que es un subgrupo regular de Lie de $G$, pero eso ya es bastante para tratarse de información codificada en una estructura puramente algebraica, ¿no?

Antes de empezar, un par de definiciones: si $M$ es una variedad diferenciable y $X \in \mathfrak{X}(M)$ es un campo vectorial, dada una curva $\alpha: I \subset \mathbb{R} \rightarrow M$, diremos que $\alpha$ es una curva integral de $X$ si $\alpha'(t) = X(\alpha(t)), \forall t \in I$, y si además $\alpha(0) = p \in M$, diremos que $\alpha$ es una curva integral de $X$ por $p$.

Dado un campo $X$ y un punto $p \in M$, supongamos que tomamos una carta $(U,\varphi = (x_1, ..., x_n))$ de $M$ en $p$, y que en esta carta el campo $X$ se escribe, en la base de las parciales, como

$$X = \sum_{i=1}^n a_i \frac{\partial}{\partial x_i}$$

donde $a_i:M \rightarrow \mathbb{R}$ son funciones diferenciables de $(x_1, ..., x_n)$. El problema de encontrar una curva integral $\alpha(t) = (x_1(t), ..., x_n(t))$ de $X$ por $p$ equivale al problema de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales

$$\frac{d x_1}{dt} = a_1(x_1, ..., x_n)$$
$$ ... $$
$$\frac{d x_n}{dt} = a_n(x_1, ..., x_n)$$

junto con la condición inicial $\alpha(0) = p$. Como las $a_i$ son funciones diferenciables (de clase $C^\infty$), el teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales se aplica y existe un entorno $(-\varepsilon,\varepsilon)$ de $0$ y una curva $\alpha:(-\varepsilon,\varepsilon) \rightarrow M$ satisfaciendo las ecuaciones y la condición inicial. Quien haya estudiado algo de ecuaciones diferenciales, sabrá que en muchas ocasiones el intervalo de definición $(-\varepsilon,\varepsilon)$ que garantizan los teoremas se puede extender, y así surge el concepto de curva integral maximal de $X$ por $p$, como una solución $\alpha_p:I_p \rightarrow M$ al problema de Cauchy donde el intervalo $I_p$ es maximal y en este caso, esta solución maximal es única.

Diremos que un campo $X$ es completo si para todo $p \in M$, el intervalo maximal $I_p$ de la curva integral maximal de $X$ por $p$ es todo $\mathbb{R}$. En otras palabras, si las soluciones al problema de Cauchy asociado están definidas en todo $\mathbb{R}$ para todo $p$. Se puede probar que si $M = G$ es un grupo de Lie, entonces todo campo $\mathbb{A} \in \mathcal{L}(G)$ es completo.

Y aquí ya tenemos todo preparado para definir la exponencial. Sea $A \in T_eG$ un vector tangente a la identidad, y sea $\mathbb{A}$ su campo asociado. Sea $\gamma_A$ la curva integral maximal de $\mathbb{A}$ por el elemento neutro $e$. Se define la aplicación exponencial $exp: \mathfrak{g} \rightarrow G$ como

$$exp(A) = \gamma_A(1)$$

Esta definición es un tanto hermética porque se extrae de los propios teoremas de existencia de soluciones para ecuaciones diferenciales, los cuales no dan una demostración constructiva: en general no sabemos qué pinta tiene $\gamma_A$, sólo sabemos que existe.

Sin embargo, hay algunos casos en los que sí podemos calcular explícitamente la aplicación exponencial: basta que sepamos resolver el sistema de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, tomemos $G = \mathbb{R}^*$ como antes. Habíamos visto que dado un vector $A \in T_1\mathbb{R}^*$, el campo asociado en la carta identidad $\varphi(x) = x$ era $\mathbb{A} = xA \frac{\partial}{\partial x}$. El problema de Cauchy asociado aquí es simplemente

$$\frac{dx}{dt} = xA$$

cuya solución general es $x = x(t) = Ce^{tA}$. Ahora aplicando la condición inicial $x(0) = 1$ para que sea curva integral por el elemento neutro, queda $1 = x(0) = Ce^{0 \cdot A} = Ce^0 = C$, por lo que $C = 1$ y entonces la curva integral maximal de $\mathbb{A}$ por $1$ es $x(t) = e^{tA}$. Usando la notación de antes, tendríamos $\gamma_A(t) = e^{tA}$.

¿Cómo queda entonces la exponencial? Dado $A \in \mathbb{R}$, $exp(A) = \gamma_A(1) = e^A \in \mathbb{R}^*$, la exponencial real de toda la vida. ¿Llega esta exponencial a reconstruir todo el grupo de Lie original, $\mathbb{R}^*$? No, porque la exponencial real sólo toma valores positivos. Lo que pasa es que $\mathbb{R}^*$ no es conexo. así que la exponencial reconstruye nada más la componente conexa en la que se encuentra la identidad, el 1, que es $\mathbb{R}^+$.

Vamos a ver otro ejemplo: el de $G = GL(n,\mathbb{R})$ cuya álgebra de Lie recordamos que era $gl(n,\mathbb{R})$ con el corchete $[A,B] = AB-BA$. Haciendo cuentas, uno puede llegar a que dada $A \in gl(n,\mathbb{R})$, el campo asociado está dado por $\mathbb{A}(x) = xA$, la misma expresión que en el caso de $\mathbb{R}^*$, pero ahora $A$ es una matriz de $gl(n,\mathbb{R})$ y $x$ es un punto de $GL(n,\mathbb{R})$, es decir, otra matriz, pero además no singular. La ecuación diferencial asociada es

$$x'(t) = x(t)A$$

donde ahora $x$ representa una matriz $n \times n$. Como se trata de un sistema de ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes, todo hijo de vecino sabe que la solución viene dada por $x(t) = x_0e^{At}$ donde $x_0 = x(0) = Id_n$ y $e^{At}$ es la exponencial matricial, definida a imagen y semejanza del desarrollo en serie de Taylor de la exponencial real:

$$e^{At} = \sum_{n \geq 0} \frac{(At)^n}{n!}$$

por lo que $\gamma_A(t) = e^{At}$ y entonces la exponencial está dada por $exp(A) = \gamma_A(1) = e^A$, que es la exponencial de matrices de toda la vida.

Con lo que ya sabemos, $O(2)$, el grupo ortogonal, tiene dos componentes conexas de las cuales es $SO(2)$, el grupo especial ortogonal, el que contiene a la identidad, de manera que tendremos el diagrama

$$O(2) \rightarrow \mathfrak{o}(2) \rightarrow SO(2)$$

calculando primero el álgebra de Lie y después la exponencial. En una próxima entrada tal vez hable del grupo de Lie $O(3,1)$, más conocido como grupo de Lorentz, que es el conjunto de transformaciones que dejan invariante la métrica de Minkowski, fundamental en la Relatividad Especial. Dicho grupo tiene cuatro componentes conexas, y con el álgebra de Lie del grupo no podremos estudiarlo todo, pero sí podremos estudiar la componente conexa de la identidad, $SO^+(3,1)$, conocido como el grupo de Lorentz propio.