Qué pequeño es Q y qué raros son los abiertos

Me he encontrado con un problema que me ha parecido curioso: si un conjunto abierto $E$ verifica $\mathbb{Q} \subsetneq E \subsetneq \mathbb{R}$, ¿es verdad que $E$ debe ser igual a $\mathbb{R}$ salvo, a lo sumo, un conjunto de medida cero? Sabiendo que $\mathbb{Q}$ es un conjunto denso en $\mathbb{R}$ con la topología usual, y que un abierto es algo "gordito" en el sentido de que ningún abierto mide $0$, la existencia de un abierto que recubra todos los naturales y que mida menos que $\mathbb{R}$ es algo contraintuitiva.

Siempre se pueden construir conjuntos $E$ abiertos que recubran $\mathbb{Q}$ y que estén estrictamente contenidos en $\mathbb{R}$. Por ejemplo, el intervalo $(-\infty,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},\infty)$ cumple lo pedido: recubre $\mathbb{Q}$, es abierto y se diferencia de $\mathbb{R}$ en el conjunto no vacío $\{\sqrt{2}\}$, pero $\{\sqrt{2}\}$ tiene medida cero.

Consideremos la siguiente construcción: como los racionales son un conjunto numerable, los podemos enumerar en una sucesión $(q_n)_{n\in\mathbb{N}}$. Ahora, para cada $q_n$, sea $U_n$ el intervalo abierto centrado en $q_n$ de diámetro $1/2^n$, y sea $U = \cup U_n$ la unión de todos los abiertos $U_n$. El conjunto $U$ es abierto por ser unión de abiertos (luego, además, es medible y de medida estrictamente positiva (porque, por definición, todo abierto contiene una bola de radio $\varepsilon$)). Podemos acotar la medida de $U$:
$$0 < \mathfrak{m}(U) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mathfrak{m}(U_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}$$

La suma anterior es una progresión geométrica de razón $\frac{1}{2}$ (por tanto, convergente), cuyo valor es exactamente $1$. Es decir, que $U$ es un abierto que contiene a los racionales y cuya medida está acotada por $1$. Consecuentemente $\mathbb{R}\setminus U$ es un conjunto medible que no sólo no mide $0$, sino que tiene medida infinita. Moraleja: hay muchos abiertos de muchos tamaños distintos que recubren $\mathbb{Q}$ y que son considerablemente más pequeños que $\mathbb{R}$.