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jueves, 23 de enero de 2014

Qué pequeño es Q y qué raros son los abiertos

Me he encontrado con un problema que me ha parecido curioso: si un conjunto abierto E verifica \mathbb{Q} \subsetneq E \subsetneq \mathbb{R}, ¿es verdad que E debe ser igual a \mathbb{R} salvo, a lo sumo, un conjunto de medida cero? Sabiendo que \mathbb{Q} es un conjunto denso en \mathbb{R} con la topología usual, y que un abierto es algo "gordito" en el sentido de que ningún abierto mide 0, la existencia de un abierto que recubra todos los naturales y que mida menos que \mathbb{R} es algo contraintuitiva.

Siempre se pueden construir conjuntos E abiertos que recubran \mathbb{Q} y que estén estrictamente contenidos en \mathbb{R}. Por ejemplo, el intervalo (-\infty,\sqrt{2})\cup(\sqrt{2},\infty) cumple lo pedido: recubre \mathbb{Q}, es abierto y se diferencia de \mathbb{R} en el conjunto no vacío \{\sqrt{2}\}, pero \{\sqrt{2}\} tiene medida cero.

Consideremos la siguiente construcción: como los racionales son un conjunto numerable, los podemos enumerar en una sucesión (q_n)_{n\in\mathbb{N}}. Ahora, para cada q_n, sea U_n el intervalo abierto centrado en q_n de diámetro 1/2^n, y sea U = \cup U_n la unión de todos los abiertos U_n. El conjunto U es abierto por ser unión de abiertos (luego, además, es medible y de medida estrictamente positiva (porque, por definición, todo abierto contiene una bola de radio \varepsilon)). Podemos acotar la medida de U:
0 < \mathfrak{m}(U) \leq \sum_{n=1}^{\infty} \mathfrak{m}(U_n) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}


La suma anterior es una progresión geométrica de razón \frac{1}{2} (por tanto, convergente), cuyo valor es exactamente 1. Es decir, que U es un abierto que contiene a los racionales y cuya medida está acotada por 1. Consecuentemente \mathbb{R}\setminus U es un conjunto medible que no sólo no mide 0, sino que tiene medida infinita. Moraleja: hay muchos abiertos de muchos tamaños distintos que recubren \mathbb{Q} y que son considerablemente más pequeños que \mathbb{R}.


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