La teoría de Galois

Évariste Galois fue un matemático francés del siglo XIX, uno de estos genios que mueren jóvenes habiendo hecho grandes cosas y dejándonos sin saber muy bien qué podrían haber llegado a hacer de haber vivido más tiempo. Se considera a Galois uno de los padres de la teoría de grupos, que estudia, por ejemplo, la estructura que tienen los movimientos que dejan invariante un cuadrado en el plano (rotación, reflexión por la horizontal, reflexión por la diagonal...) como estructuras algebraicas, y más en general, los invariantes geométricos.

Lo que Galois descubrió es que existe una estructura elegante que rige la manera en la que se pueden intercambiar las raíces de un polinomio. Una forma de pasar del mundo continuo de los cuerpos al mundo discreto de los grupos, y viceversa. Lamentablemente, Galois murió a la edad de 20 años en un duelo, según se dice, debido a un lío de faldas.

En esta entrada se intentará dar una aproximación intuitiva a su teoría para saber de qué trata, y cómo gracias a ella se pueden resolver fácilmente algunos problemas clásicos de los griegos (duplicación del cubo, trisección del ángulo, cuadratura del círculo), así como el teorema de Abel-Ruffini que dice que, en general, no podemos resolver ecuaciones polinómicas de grado cinco o superior por radicales, tal y como lo hacemos con las ecuaciones de grados dos, tres y cuatro.



1. Cuerpos y extensiones


Comenzamos con la definición de cuerpo. Esta definición es un poco larga, porque un cuerpo es un conjunto con dos operaciones que cumplen muchas propiedades, pero para quien no quiera pararse a leerlas todas, le bastará saber que un cuerpo es un conjunto en el que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir por elementos no nulos sin problema.

Definición. Sea $K$ un conjunto no vacío y dos operaciones binarias internas

$+:K \times K \longrightarrow K\ \ \ \ \ \ \cdot:K \times K \longrightarrow K$

llamadas, respectivamente, adición y multiplicación, que satisfacen:

1. Asociatividad de $+$ y $\cdot$: dados $a, b, c \in K$, $a+(b+c) = (a+b)+c$, y también $a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c$.
   
2. Elemento neutro para $+$ y $\cdot$: existen elementos en $K$ que denotamos por $0$ y $1$ satisfaciendo que para todo $a \in K$, $a+0 = a = 0+a$, y $a \cdot 1 = a = 1 \cdot a$.
3. Conmutatividad para $+$ y $\cdot$: dados $a, b \in K$, $a+b = b+a$ y $a \cdot b = b \cdot a$.
4. Existencia de opuestos e inversos: para todo $a \in K$ existe un elemento que denotamos $-a \in K$ tal que $a + (-a) = 0$. Para todo $a \in K$ con $a \neq 0$ existe un elemento que denotamos $a^{-1}$ de forma que $a \cdot a^{-1} = 1$.
5. Distributiva: dados $a, b, c \in K$, se cumple $a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c)$.

Entonces se dice que la terna $(K,+,\cdot)$ es un cuerpo, aunque en los casos en los que las operaciones definidas en $K$ estén claras, pondremos simplemente "$K$ es un cuerpo".

Vamos a ver algunos ejemplos que clarifiquen un poco esta definición para no perdernos entre tantas propiedades.

Ejemplos.

1. El conjunto $\mathbb{Q}$ de los números racionales, el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales y el conjunto $\mathbb{C}$ de los números complejos son cuerpos con las operaciones habituales.
2. El conjunto $\mathbb{Z}$ de los números enteros no es un cuerpo, ya que, por ejemplo, $3$ no tiene inverso en $\mathbb{Z}$: no hay ningún número entero $a$ tal que $3 \cdot a = 1$. En realidad $\mathbb{Z}$ es lo que se conoce como un anillo.
3. Dado un número primo $p$, el conjunto $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ de los enteros módulo $p$ es un cuerpo, aunque no entraremos en detalles.
4. El conjunto de las matrices cuadradas $n \times n$ con entradas reales no es un cuerpo porque hay matrices que no tienen inversa (las de determinante igual a cero).
5. El conjunto de las matrices cuadradas $n \times n$ con entradas reales y determinante distinto de cero tampoco es un cuerpo, porque aunque en este caso toda matriz tiene inversa, el producto de matrices no es conmutativo.
6. El cojunto de números reales negativos no es un cuerpo con las operaciones habituales, porque si multiplicamos dos números reales negativos, obtenemos uno positivo, saliéndonos del conjunto, y recordamos que $\cdot$ se define como $\cdot: K \times K \rightarrow K$, de modo que el producto de dos elementos de $K$ tiene que estar en $K$.
   
7. El conjunto $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a+b\sqrt{2}\ :\ a, b \in \mathbb{Q}\}$ es un cuerpo. Aquí es un poco más difícil saber la pinta que tiene el inverso de un elemento, pero con un poco de paciencia se puede ver.
   

Ahora ya nos podemos hacer una idea aproximada de lo que es un cuerpo y pasamos a definir uno de los puntos centrales de la teoría de Galois: las extensiones de cuerpos, que no son más que cuerpos más grandes que contienen a otros cuerpos.

Definición. Sea $F$ un cuerpo y $K$ un subconjunto de $F$. Decimos que $K$ es un subcuerpo de $F$ si $K$ es un cuerpo con las operaciones heredadas. Dado otro cuerpo $L$ que contiene a $F$, decimos que $L$ es una extensión de $F$ (y lo denotamos $L/F$) si $F$ es un subcuerpo de $L$.

Por ejemplo, $\mathbb{Q}$ es un subcuerpo de $\mathbb{R}$, que a su vez es un subcuerpo de $\mathbb{C}$. O dicho de otro modo, $\mathbb{C}$ es una extensión de $\mathbb{R}$ y $\mathbb{R}$ es una extensión de $\mathbb{Q}$. También $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es una extensión de $\mathbb{Q}$ y un subcuerpo de $\mathbb{R}$ y también de $\mathbb{C}$. En resumen,

$\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$

es una cadena en la que los elementos de la derecha son extensiones de los de la izquierda, o los de la izquierda son subcuerpos de los de la derecha, según queramos verlo.

Ahora vamos a definir algo que necesitamos para que las extensiones con las que vamos a trabajar sean "buenas".

Definición. Sea $K$ un cuerpo y $u \in K$. Decimos que $u$ es algebraico sobre $K$ si existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes en $K$ de modo que $p(u) = 0$. En otro caso, decimos que $u$ es trascendente sobre $K$. Decimos que una extensión $F/K$ es algebraica si todo elemento de $F$ es algebraico sobre $K$. Si existen en $F/K$ elementos trascendentes sobre $K$, decimos que la extensión es trascendente.

Ejemplo. $\sqrt{2}$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$, porque es raíz del polinomio $x^2-2$. $i$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ porque es raíz del polinomio $x^2+1$. Sin embargo $\pi$ no es algebraico sobre $\mathbb{Q}$, es trascendente, puesto que no existe ningún polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}$ que tenga a $\pi$ como raíz, aunque esto no es sencillo de demostrar.

$\mathbb{R}/\mathbb{Q}$ y $\mathbb{C}/\mathbb{Q}$ son extensiones trascendentes sobre $\mathbb{Q}$, ya que las dos contienen elementos trascendentes como $e$ o $\pi$; pero $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ es una extensión algebraica: si $a+b\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, este elemento es raíz del polinomio $x^2 - 2ax +a^2 -2b^2$ con coeficientes racionales (compruébese).

Definición. Una extensión $F/K$ se dice simple si es de la forma $F = K(\alpha)$, es decir, si $F = \{a+b\alpha\ :\ a, b \in K\}$.

Las extensiones simples son algo así como el resultado de añadirle a un cuerpo $K$ un elemento $\alpha$ que no esté en él, y calcular el menor cuerpo que contiene a los elementos de $K$ y a $\alpha$. Por ejemplo, $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2}\ :\ a, b \in \mathbb{Q}\}$ es una extensión simple de $\mathbb{Q}$.

Podemos incluso considerar expresiones de la forma $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ como una manera sencilla de escribir $[\mathbb{Q}(\sqrt{2})](\sqrt{3})$. Observemos que los elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ NO son todos de la forma $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$, porque como $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ tiene que ser un cuerpo, $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$ tiene que estar en el cuerpo, y no es complicado probar que $\sqrt{6}$ no se puede escribir en la forma $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}$. De hecho, los elementos de $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ van a ser los de la forma $a+b\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d\sqrt{6}$.

Aunque en principio pudiera parecer que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ no es una extensión simple, resulta que sí, que $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}) = \mathbb{Q}(\sqrt{2}+\sqrt{3})$ y está generada por un único elemento. De hecho, el teorema del elemento primitivo, que no veremos aquí, nos dice que casi todas las extensiones de cuerpos que nos puedan venir a la cabeza son simples.

El hecho de que una extensión sea simple y de que sea algebraica son independientes. Por ejemplo, la extensión $\mathbb{Q}(\pi)$ es simple y no es algebraica, porque $\pi$ no es algebraico sobre $\mathbb{Q}$. Los elementos de $\mathbb{Q}(\pi)$ son de la forma $a_0 + a_1\pi + a_2\pi^2 + a_3\pi^3 + ...$, y el parecido que tienen con los polinomios $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + ...$ no es casual, hay un isomorfismo de cuerpos entre $\mathbb{Q}(\pi)$ (o cualquier extensión $\mathbb{Q}(\alpha)$ con $\alpha$ trascendente sobre $\mathbb{Q}$) y el cuerpo de cocientes del anillo de polinomios sobre $\mathbb{Q}$, pero tampoco hablaremos de esto.

Ya podemos intuir que en las extensiones de cuerpos hay una estructura más simple asociada: la de espacio vectorial.

Proposición. Sea $F/K$ una extensión. $F$ es un espacio vectorial sobre $K$.

Por ejemplo, $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es un espacio vectorial de dimensión $2$ sobre $\mathbb{Q}$ con base $\{1, \sqrt{2}\}$. También $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{Q}$, ahora de dimensión $4$, con base $\{1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}\}$. Por su parte $\mathbb{Q}(\pi)$ es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre $\mathbb{Q}$ con base $\{1, \pi, \pi^2, \pi^3, ...\}$.

Definición. Se llama grado de la extensión $F/K$ y se representa por $[F\ :\ K]$ a la dimensión de $F$ como espacio vectorial sobre $K$.

Así, por ejemplo, $[\mathbb{Q}(\sqrt{2})\ :\ \mathbb{Q}] = 2$, y $[\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})\ :\ \mathbb{Q}] = 4$.

Introducimos ahora los últimos conceptos antes de ver cómo se aplica esto a los problemas clásicos de los griegos.

Definición. Sea $u$ un elemento algebraico sobre un cuerpo $K$. Se llama polinomio mínimo de $u$ sobre $K$ al polinomio mónico (coeficiente director $= 1$) de menor grado que se anula en $u$.

Por ejemplo, el polinomio mínimo de $\sqrt{2}$ sobre $\mathbb{Q}$ es $x^2-2$, el de $\sqrt{3}$ es $x^2-3$ y el de $\sqrt[3]{2}$ es $x^3-2$.

Proposición. Si $u$ es algebraico sobre $K$, se tiene que $[K(u)\ :\ K] = n$, donde $n$ es el grado del polinomio mínimo de $u$ sobre $K$, y además una base para la extensión es $\{1, u, u^2, ..., u^{n-1}\}$.

Ejemplo. Queremos calcular el grado de la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}})/ \mathbb{Q}$, que a priori parece dificil decir cuál es. Lo que hacemos es calcular el polinomio mínimo de $\alpha = \sqrt{1+\sqrt{2}}$. Para ello hacemos los cálculos de la siguiente manera, como si estuviéramos resolviendo una ecuación polinómica, pero al revés:

$x = \sqrt{1+\sqrt{2}}$

$x^2 = 1+\sqrt{2}$

$x^2 - 1 = \sqrt{2}$

$(x^2 - 1)^2 = 2$

$x^4 - 2x^2+1 = 2$

$x^4 - 2x^2 - 1 = 0$

Obtenemos el polinomio $x^4 - 2x^2 - 1$, que sabemos que es mónico y se anula en $\alpha$, pero no sabemos si es el de menor grado. Para ello tendríamos que comprobar que es un polinomio irreducible, cosa que no voy a hacer a mano aquí y tendréis que creer en mi palabra de honor de que lo es, aunque para otros casos existen criterios de irreducibilidad de polinomios sencillos, como el criterio de Eisenstein. Por tanto encontramos un polinomio mónico, de grado mínimo, que se anula en $\alpha$, así que es el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $\mathbb{Q}$ , y tiene grado $4$, de modo que, aplicando la proposición anterior, $[\mathbb{Q}(\sqrt{1+\sqrt{2}})\ :\ \mathbb{Q}] = 4$ y una base de la extensión es $\{1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3\}$.

Igual que a partir de un elemento algebraico podemos conseguir una extensión y un polinomio asociado, a partir de un polinomio irreducible con coeficientes en un cuerpo podemos conseguir una extensión considerando una de sus raíces: si $p(x)$ es un polinomio mónico e irreducible sobre $\mathbb{Q}$ y $\alpha$ es una raíz de $p(x)$ (es decir, $p(\alpha) = 0$), claramente $p(x)$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $\mathbb{Q}$, y el grado de $p(x)$ es exactamente el grado de la extensión $\mathbb{Q}(\alpha)/\mathbb{Q}$. Esto es lo que motiva la siguiente definición.

Definición. Sea $p(x)$ un polinomio irreducible sobre un cuerpo $K$, y $\alpha$ una raíz de $p(x)$ en alguna extensión de $K$. Entonces se dice que $K(\alpha)$ es un cuerpo raíz de $p(x)$.

No está claro que dado un polinomio irreducible $p(x)$ sobre $K$, sus raíces tengan que existir en algún sitio, pero en el caso de $\mathbb{Q}$, que es el que vamos a discutir aquí, sabemos que todas las raíces de polinomios en $\mathbb{Q}[x]$ viven en $\mathbb{C}$ porque $\mathbb{C}$ es la clausura algebraica de $\mathbb{Q}$ (teorema fundamental del álgebra). Por ejemplo, "¿dónde están las raíces del polinomio $x^2 + 1$ como polinomio de $\mathbb{F}_3[x]$?" y otras historias para no dormir. No nos preocupemos por esto ahora.

Teorema (transitividad del grado). Si $L/F$ y $F/K$ son extensiones, entonces $L/K$ es también una extensión y $[L\ :\ K] = [L\ :\ F] \cdot [F\ :\ K]$.

Ejemplo. Calcular el grado de la extensión $L/K = \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)/\mathbb{Q}$ donde $i$ representa la unidad imaginaria.

Como $\mathbb{Q}(\sqrt{2},i)$ es una forma que usamos para representar $\mathbb{Q}(\sqrt{2})(i)$, en este ejemplo la extensión $L/K$ es la composición de las extensiones $L/F = \mathbb{Q}(\sqrt{2},i)/\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $F/K = \mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$, por lo que, si calculamos $[L\ :\ F]$ y $[F\ :\ K]$, tendremos $[L\ :\ K]$.

Para la primera, ya habíamos visto que $[F\ :\ K] = [\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}\ :\ \mathbb{Q}] = 2$, ya que el polinomio mínimo de $\sqrt{2}$ sobre $\mathbb{Q}$ es $x^2-2$. Para la segunda, el polinomio mínimo de $i$ sobre $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ es $x^2 + 1$, por lo que $[L\ :\ F] = 2$, y aplicando el teorema de transitividad del grado, $[L\ :\ K] = [L\ :\ F] \cdot [F\ :\ K] = 2 \cdot 2 = 4$.

2. Los problemas de los griegos.

Ahora veremos una manera de modelar las construcciones en el plano con regla y compás a través de estas estructuras modernas que hemos definido. En las construcciones con regla y compás la regla no está marcada, es decir, partimos de un segmento que trazamos al azar con la regla y le asignamos distancia $1$, y a continuación empezamos a hacer rectas y circunferencias y considerar los puntos que están en su intersección. Los que hayan estudiado dibujo técnico, saben que podemos dividir un segmento de longitud $1$ en $n$ partes iguales haciendo uso del teorema de Tales, y luego podemos considerar $m$ de esos trozos para obtener un segmento de longitud $m \over n$. Por tanto, podemos decir que con regla y compás podemos construir todos los números racionales $\mathbb{Q}$. También podemos construir un segmento de longitud $\sqrt{2}$: construimos un cuadrado de lado $1$ y, por el teorema de Pitágoras, la diagonal de ese cuadrado mide $\sqrt{1+1} = \sqrt{2}$. Después podemos coger ese segmento y estirarlo o encogerlo según un coeficiente racional, o bien extenderlo pegándole un segmento de longitud racional. Esto quiere decir que podemos conseguir con regla y compás todos los números de la forma $a + b\sqrt{2}$, los números que están precisamente en $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.

Más en general, los números que podemos construir con regla y compás son aquellos que están en la intersección de circunferencias y rectas construidas a partir del segmento de longitud $1$, es decir, soluciones a sistemas de ecuaciones polinómicas de grados $1$ y $2$, ya que las ecuaciones de las rectas son polinómicas de grado $1$ y las ecuaciones de las circunferencias son polinómicas de grado $2$.

Si un punto es construible con regla y compás, estará en un cuerpo fruto de una cadena de extensiones $F_n / F_{n-1} / ... / F_1 / \mathbb{Q}$, donde el grado de $F_{i+1}/F_i$ es $1$ o $2$, y por el teorema de transitividad del grado, $[F_n\ :\ \mathbb{Q}] = [F_n\ :\ F_{n-1}][F_{n-1}\ :\ F_{n-2}] \cdot ... \cdot [F_1\ :\ \mathbb{Q}]$. De aquí se deduce el siguiente teorema.

Teorema. Si un número $u$ es construible con regla y compás, entonces el grado de su polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ (y por tanto el de $\mathbb{Q}(u)/\mathbb{Q}$) es una potencia de $2$.

Esto ya nos da una idea de qué clase de cosas no podemos construir con regla y compás. Por ejemplo, no podemos construir con regla y compás un segmento de longitud $\sqrt[3]{2}$, ya que su polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ es $x^3-2$, de grado $3$, que no es una potencia de $2$.

Problema (duplicación del cubo). Construir con regla y compás un segmento que sea el lado de un cubo de área $2$.

Esto es exactamente el ejemplo que acabamos de ver. No es posible hacer tal cosa porque este segmento tendría longitud $\sqrt[3]{2}$, que no es construible con regla y compás.

Problema (trisección del ángulo). Dado un ángulo $\theta$, construir un ángulo que mida $\theta \over 3$.

Si existiera un método para trisecar un ángulo cualquiera, en particular se podría trisecar el ángulo de $60º$, ya que este es construible con relga y compás: se puede ver como el ángulo que forman los vectores $(1,0)$ y $(\cos 60º, \sin 60º) = (1/2, \sqrt{3}/2)$, es decir, podría conseguirse $\cos 20º$, pero veamos que $[\mathbb{Q}(\cos 20º) / \mathbb{Q}] = 3$, que no es una potencia de $2$:

$\cos(60) = \cos(3 \cdot 20) = \cos(2 \cdot 20 + 20) = \cos(2 \cdot 20)\cos(20)-\sin(2 \cdot 20)\sin(20) =$

$= (\cos^2(20) - \sin^2(20))\cos(20) - 2(\sin(20)\cos(20))\sin(20) = 4\cos^3(20)-3\cos(20)$

Entonces ${1 \over 2} = \cos(60) = 4\cos^3(20)-3\cos(20)$, por lo que $4\cos^3(20)-3\cos(20)-{1 \over 2} = 0$. Entonces $\cos(20)$ es raíz del polinomio mónico $x^3 - {3 \over 4}x - {1 \over 8}$ en $\mathbb{Q}[x]$, que es irreducible por el criterio de Eisenstein, por lo que es el polinomio mínimo de $\cos(20)$ sobre $\mathbb{Q}$, y así $[\mathbb{Q}(\cos(20))\ :\ \mathbb{Q}] = 3$, que no es una potencia de 2.

Así que, en el idioma de los cuerpos, estos dos problemas de los griegos que dieron tantos quebraderos de cabeza a tantas y tantas grandes mentes, son ahora una trivialidad. A veces uno tiene la sensación de que en matemáticas no existen problemas difíciles, sino problemas mal planteados o para los cuales no existe aún el lenguaje adecuado. Los griegos no manejaban el concepto de "cuerpo" ni por supuesto "extensión algebraica". Uno de los problemas actualmente en la combinatoria es que no existe una teoría para poder tratar sus problemas. Cualquiera puede enfrentarse a un problema de combinatoria sin saber nada, porque no hay nada que saber. Quizá algún día encontremos una clave para tratar la combinatoria desde un punto de vista más elegante y podamos sacar algo en claro.

Problema (cuadratura del círculo). Dado un círculo, construir con regla y compás un cuadrado que tenga la misma área.

La prueba de que esto no se puede hacer pasa por el hecho de que implicaría que $\sqrt{\pi}$ es construible, es decir, que $\pi$ es construible, o que $[\mathbb{Q}(\pi)\ :\ \mathbb{Q}]$ es una potencia de $2$, pero la verdad es que $[\mathbb{Q}(\pi)\ :\ \mathbb{Q}]$ no es una potencia de $2$, es infinito, que es lo mismo que decir que $\pi$ es trascendente sobre $\mathbb{Q}$, cuya prueba, por Lindemann en el siglo XIX, no es elemental.

3. El teorema fundamental de la teoría de Galois y el teorema de Abel-Ruffini.

Hasta ahora no hemos visto nada de la "verdadera teoría de Galois". Lo que hemos visto es la formulación moderna de las bases de la teoría. En la época de Galois no existía el concepto de grupo como lo conocemos, ni de extensión o extensión algebraica. Galois tuvo que apañárselas como pudo para desarrollar unas ideas en un terreno pantanoso, lo que hace de su labor algo aún más extraordinario. Desde Galois los matemáticos modernos estudiaron sus ideas y fueron estructurándolas, dándoles forma, para que hoy podamos estudiarlo todo cómodamente en los libros.

La idea de Galois es la siguiente: dada una extensión $L/K$, consideramos los $K$-automorfismos de $L/K$, es decir, el conjunto de isomorfismos de cuerpos $\varphi:L \rightarrow L$ que dejan fijo $K$. Esto es, $\varphi(a) = a \forall a \in K$. Resulta que este conjunto junto con la composición de aplicaciones tiene siempre estructura de grupo, que se llama grupo de Galois de la extensión $L/K$. El problema ahora es el siguiente: dada una extensión $L/K$, ¿cómo podemos saber cuáles son esos $K$-automorfismos?

Un resultado es el siguiente: si $\varphi$ es un $K$-automorfismo de la extensión $K(u)/K$, $p(x)$ el polinomio mínimo de $u$ sobre $K$ y $\alpha$ una raíz de $p(x)$, entonces $\varphi(\alpha)$ es también una raíz de $p(x)$. Esto quiere decir que los elementos del grupo de Galois aplican raíces del polinomio mínimo en raíces del polinomio mínimo. Ahora, si tomamos un polinomio irreducible en $\mathbb{Q}[x]$ con $n$ raíces $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$, y consideramos la extensión $\mathbb{Q}(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)/\mathbb{Q}$, los elementos del grupo de Galois intercambian los $\alpha_i$ entre ellos.

Ejemplo: Calcular el grupo de Galois de $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ y el de $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$.

Para el primero, como el polinomio mínimo de $\sqrt{2}$ es $x^2-2$, si $\varphi$ es un elemento del grupo de Galois de la extensión, $\varphi(\sqrt{2}) = \sqrt{2}$ o bien $\varphi(\sqrt{2}) = -\sqrt{2}$. Sabiendo la imagen de $\sqrt{2}$ por $\varphi$ ya tenemos completamente determinados los candidatos, porque como $\varphi$ es isomorfismo de cuerpos y deja fijo $K$, $\varphi(a + b\sqrt{2}) = \varphi(a) + b\varphi(\sqrt{2}) = a + b\varphi(\sqrt{2})$. Entonces nuestros candidatos a $K$-automorfismos son:

$\varphi_1: \sqrt{2} \mapsto \sqrt{2}$ y $\varphi_2: \sqrt{2} \mapsto -\sqrt{2}$

El primero es $K$-automorfismo por ser la identidad. Pondremos $\varphi_1 = 1_G$. El segundo también es un automorfismo, aunque habría que comprobarlo con más detalle. Por tanto el grupo de Galois es $G = \{1_G, \varphi_2\}$. Resulta que $\varphi_2 \circ \varphi_2 = 1_G$. Esto quiere decir que $G$ es un grupo cíclico de $2$ elementos generado por $\varphi_2$, por lo que $G$ es precisamente el grupo $\mathbb{Z}_2$.

Miramos ahora el segundo caso: un $K$-automorfismo $\varphi$ de esta extensión debe aplicar $\sqrt[3]{2}$ en alguna de las otras raíces de su polinomio mínimo, que es $x^3-2$. Sin embargo las otras raíces de este polinomio son $\sqrt[3]{2}e^{2\pi/3}$ y $\sqrt[3]{2}e^{4\pi/3}$, que no son raíces reales, así que no podemos darle a $\varphi(\sqrt[3]{2})$ el valor de ninguna de ellas. La única posibilidad es $\varphi(\sqrt[3]{2}) = \sqrt[3]{2}$, con lo que $\varphi = 1_G$ es el único $K$-automorfismo de la extensión y su grupo de Galois es $\{1_G\}$, el grupo trivial.

Visto esto, entramos en el teorema fundamental de la teoria de Galois. El teorema fundamental de la teoría de Galois dice que dada una extensión algebraica $L/K$ de grado $n$ que tenga buenas propiedades (del tipo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})/\mathbb{Q}$ donde no colapsan los automorfismos del grupo de Galois, como sí ocurre en $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})/\mathbb{Q}$), entonces existe una biyección (llamada a veces correspondencia de Galois) entre todos los subcuerpos $F$ que hay entre $L$ y $K$, y subgrupos del grupo de permutaciones $\Sigma_n$. Así, podemos pasar del mundo de los subcuerpos de una extensión al mundo de los subgrupos, según nos convenga.

En particular, si tomamos un polinomio $p(x)$ mónico e irreducible de grado $n$ sobre $\mathbb{Q}$ y consideramos la extensión (de grado $n$) generada por todas sus raíces, esta extensión es buena, en el sentido de que está en las hipótesis para aplicar la correspondencia de Galois. A la hora de resolver la ecuación $p(x) = 0$ por radicales (como en la fórmula para segundo grado que aprendimos en la E.S.O.), lo que estamos haciendo es algo parecido a las construcciones con regla y compás: ir construyendo extensiones intermedias de $\mathbb{Q}$ hasta llegar a las raíces. Pues bien, resulta que, vía la correspondencia de Galois, esta cadena de extensiones se traducen en una cadena de subgrupos de $\Sigma_n$, y se sigue de la teoría de Galois que una ecuación polinómica $p(x) = 0$ puede resolverse por radicales si, y sólo si, el grupo de Galois del polinomio $p(x)$ (el de la extensión que contiene a sus raíces) es un grupo soluble.

No voy a explicar qué significa "grupo soluble". Lo importante es que el grupo de Galois de polinomios de grados $2$, $3$ y $4$ es un subgrupo, respectivamente, de $\Sigma_2$, $\Sigma_3$ o $\Sigma_4$, y resulta que todos los subgrupos de estos grupos son solubles. Por tanto, una ecuación polinómica de grado $4$ o menor siempre es resoluble por radicales, y de ahí que exista "fórmula general" para resolver estas ecuaciones. El problema es que para grado $n = 5$ o superior, siempre existen subgrupos de $\Sigma_n$ que no son solubles. Esto es, existen ecuaciones polinómicas de grado $5$ o superior que no se pueden resolver por radicales. Este es precisamente el teorema de Abel-Ruffini, el motivo por el que no existe una fórmula general para resolver ecuaciones polinómicas de grado $5$ o superior.

¿Y qué hacemos ahora? Pues nada, tirar del análisis numérico, de los algoritmos y de la informática para poder aproximar las raíces ya que no podemos calcularlas explícitamente.