El año pasado hablaba de la interpretación geométrica de la torsión. Últimamente estoy intentando aprender Mathematica porque los gráficos y las animaciones que se pueden hacer son muy chulos y se generan con unas pocas líneas de código. A modo de ejercicio me he propuesto hacer algunas animaciones de transporte paralelo de una referencia ortonormal en $\mathbb{R}^3$ cuando la conexión es la conexión de Levi-Civita más un tensor antisimétrico, en particular, el tensor dado por el producto vectorial $A(V,W) = V \times W$. Las animaciones son un poco cutres porque todavía no piloto del todo, pero siempre puedo pensar en aquello del 15M «vamos despacio porque queremos llegar muy lejos».
Según lo que creo entender intuitivamente sobre la conexión, ésta no sólo determina la forma de las geodésicas, sino también las relaciones de paralelismo que existen entre ellas. La conexión no sólo nos dice que en el espacio euclídeo las geodésicas son rectas afines, sino que también dicta qué pares de rectas son paralelas. Así, puede haber dos conexiones métricas distintas cuyas geodésicas asociadas sean rectas afines, pero dadas dos rectas afines, para una conexión son paralelas y para la otra no lo son. La conexión de Levi-Civita en $\mathbb{R}^3$ es bastante trivial porque en el espacio euclídeo existe una identificación canónica entre todos los espacios tangentes: si $D_v$ es la derivada direccional en la dirección de $v$, considerada como un elemento del espacio tangente a $\mathbb{R}^3$ en un cierto punto, podemos identificar $D_v$ con $v$. Sin embargo, cuando uno se mueve a variedades diferenciables en general, que no poseen esta propiedad, es necesario dar algún tipo de regla para saber restar vectores que viven en distintos espacios tangentes y poder de este modo derivar campos. De esto se encarga la conexión.
Si nos apetece complicarnos la vida porque es verano y no tenemos otra cosa que hacer, podemos definir una nueva conexión en $\mathbb{R}^3$ distinta de la usual. Ya vimos que una conexión en $\mathbb{R}^3$ cuyas geodésicas inducidas sean rectas afines se diferencia de la conexión de Levi-Civita en un tensor antisimétrico, así que tenemos tanta libertad para decretar distintas relaciones de paralelismo como tensores antisimétricos.
El transporte paralelo a lo largo de una curva de un sistema de referencia ortonormal con la conexión de Levi-Civita es tan aburrido como cabría esperar:
Sin embargo, si le sumamos a la conexión de Levi-Civita el tensor antisimétrico dado por el producto vectorial $A(V,W) = V\times W$, los coeficientes de estructura de la conexión son
$$\Gamma_{ij}^k = (\partial_i\times\partial_j)_k$$
así que las ecuaciones del transporte paralelo a lo largo de $\alpha:I \rightarrow \mathbb{R}^3$ son
$$Z'_k(t) + \sum_{ij}(\partial_i\times\partial_j)_k\alpha'_i(t)Z_j(t) = 0$$
para $k = 1,2,3$. Algunos transportes paralelos que se obtienen son los siguientes:
No hay comentarios:
Publicar un comentario