Me he acordado de algo que quería publicar desde hace tiempo pero que se me había pasado. De vez en cuando se puede leer en algunos sitios que los físicos creen que el Universo es, esencialmente, plano. Para resolver la aparente paradoja de que el espaciotiempo pueda ser a la vez finito y sin fronteras se suele recurrir a la clásica analogía de la superficie de una esfera, el caso del planeta Tierra. Sin embargo, ante la afirmación de que el Universo es plano, he llegado a escuchar a físicos divulgadores diciendo que esto implica que el Universo tiene volumen infinito, supongo que porque tienen en mente el espacio euclídeo. Sin entrar a discutir sobre la forma y el volumen del Universo, quiero dejar aquí un ejemplo de variedad plana, cerrada, compacta y de volumen finito que demuestra que esta conclusión no se sigue de las premisas. Está bien tener a mano este ejemplo sencillo igual que el de la esfera.
El ejemplo es el toro plano $\mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 \subseteq \mathbb{R}^4$, una variedad que es difeomorfa al toro con forma de rosquilla sumergido en $\mathbb{R}^3$, pero no isométrica. Podemos parametrizar el toro plano mediante
$$p(\theta,\phi) = (\cos\theta,\sin\theta,\cos\phi,\sin\phi)$$
con $\theta \in (0,2\pi)$ y $\phi\in(0,2\pi)$, luego la expresión local del tensor métrico en estas coordenadas es la matriz identidad $g_{ij} = \delta_{ij}$. En estas condiciones todas las derivadas del tensor métrico (y, por tanto, la curvatura) son $0$. Además la expresión local de la forma de volumen es $\sqrt{\det(g_{ij})} = 1$, y consecuentemente el volumen (área) del toro plano es $4\pi^2$.
Como curiosidad, pongo aquí un vídeo en el que se muestra una inmersión isométrica del toro plano bastante retorcida en $\mathbb{R}^3$.
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